Determinar a transformação linear T: P2 longrightarrow P2 tal que T(1)=x, T(x)=1-x^2 e T(x^2)=x+2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma transformação linear que vai de pra , ou seja, de polinômios de grau no máximo 2 para polinômios também de grau no máximo 2. Precisamos descobrir como age sobre qualquer polinômio nesse espaço, dado que sabemos como ela transforma os polinômios , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: para quaisquer polinômios e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e polinômio .
Isso significa que se conhecemos como age sobre uma base do espaço, conseguimos determinar para qualquer elemento desse espaço.

Passo 3

No caso de , uma base comum é . A transformação é totalmente determinada por suas ações sobre esses elementos da base. No enunciado, já nos deram:
Então, para qualquer polinômio , podemos encontrar usando a linearidade de .

Passo 4

Vamos escrever T(p(x)) = T(a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2) = a cdot T(1) + b cdot T(x) + c cdot T(x^2) . Aplicando T(p(x)) = a cdot x + b cdot (1 - x^2) + c cdot (x + 2x^2) a :
Agora substituímos os valores de , e :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
T(p(x)) = a x + b(1) - b x^2 + c x + 2c x^2
Agrupando os termos semelhantes:
T(p(x)) = (a x + c x) + (b) + (-b x^2 + 2c x^2)
Fatorando:
T(p(x)) = (a + c) x + b + (2c - b) x^2

Resposta

Assim, a transformação linear T(a + b x + c x^2) = b + (a + c) x + (2c - b) x^2 é dada por:

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