Determinar a transformação linear tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma transformação linear que vai de pra , ou seja, de polinômios de grau no máximo 2 para polinômios também de grau no máximo 2. Precisamos descobrir como age sobre qualquer polinômio nesse espaço, dado que sabemos como ela transforma os polinômios , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: para quaisquer polinômios e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e polinômio .
Isso significa que se conhecemos como age sobre uma base do espaço, conseguimos determinar para qualquer elemento desse espaço.

Passo 3

No caso de , uma base comum é . A transformação é totalmente determinada por suas ações sobre esses elementos da base. No enunciado, já nos deram:
Então, para qualquer polinômio , podemos encontrar usando a linearidade de .

Passo 4

Vamos escrever . Aplicando a :
Agora substituímos os valores de , e :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Fatorando:

Resposta

Assim, a transformação linear é dada por:

Exercícios relacionados

20
Mostre que e é isomorfo a .
Quais das transformações abaixo são lineares?
§ .
Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.