Determinar a transformação linear
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma transformação linear
que vai de
pra
, ou seja, de polinômios de grau no máximo 2 para polinômios também de grau no máximo 2. Precisamos descobrir como
age sobre qualquer polinômio nesse espaço, dado que sabemos como ela transforma os polinômios
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
- Aditividade:
para quaisquer polinômios e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e polinômio .
Isso significa que se conhecemos como
age sobre uma base do espaço, conseguimos determinar
para qualquer elemento desse espaço.
Passo 3
No caso de
, uma base comum é
. A transformação
é totalmente determinada por suas ações sobre esses elementos da base. No enunciado, já nos deram:
Então, para qualquer polinômio
, podemos encontrar
usando a linearidade de
.
Passo 4
Vamos escrever
. Aplicando
a
:
Agora substituímos os valores de
,
e
:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Fatorando:
Resposta
Assim, a transformação linear
é dada por:
Exercícios relacionados
20
Mostre que e
é isomorfo a
.
Mostre que
Quais das transformações abaixo são lineares?
§ .
§
Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.