Quais das transformações abaixo são lineares?
§
.
§
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para a gente verificar se uma transformação
, que vai de
(polinômios de grau até 2) para
(polinômios de grau até 3), é linear. O conteúdo que vamos usar aqui é Transformações Lineares. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades que uma transformação linear precisa ter.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação
é linear se ela respeita duas coisas:
- Adição:
para quaisquer polinômios e . - Escala:
para qualquer constante e polinômio .
Se a transformação cumprir essas duas propriedades, ela é linear. Vamos ver se
faz isso.
Passo 3
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
. Digamos:
Aplicando
na soma desses polinômios:
Pelo enunciado:
Passo 4
Agora, vamos ver o que é
:
Somando:
Viu só?
. Isso significa que a propriedade da adição está valendo.
Passo 5
Vamos agora verificar a propriedade da escala. Pegue um polinômio
e uma constante
. Aplicando
:
Por outro lado:
De novo, vimos que
. A propriedade da escala também está ok!
Resposta
Como
respeita tanto a adição quanto a escala, a transformação
é linear.
Exercícios relacionados
Determinar a transformação linear
tal que
20
Mostre que e
é isomorfo a
.
Mostre que
Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
(a) , tal que
(a)