Quais das transformações abaixo são lineares?
§ .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para a gente verificar se uma transformação , que vai de (polinômios de grau até 2) para (polinômios de grau até 3), é linear. O conteúdo que vamos usar aqui é Transformações Lineares. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades que uma transformação linear precisa ter.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação é linear se ela respeita duas coisas:
  1. Adição: para quaisquer polinômios e .
  2. Escala: para qualquer constante e polinômio .
Se a transformação cumprir essas duas propriedades, ela é linear. Vamos ver se faz isso.

Passo 3

Vamos pegar dois polinômios quaisquer em . Digamos:
Aplicando na soma desses polinômios:
Pelo enunciado:

Passo 4

Agora, vamos ver o que é :
Somando:
Viu só? . Isso significa que a propriedade da adição está valendo.

Passo 5

Vamos agora verificar a propriedade da escala. Pegue um polinômio e uma constante . Aplicando :
Por outro lado:
De novo, vimos que . A propriedade da escala também está ok!

Resposta

Como respeita tanto a adição quanto a escala, a transformação é linear.

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Determinar a transformação linear tal que
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Mostre que e é isomorfo a .
Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Determine conhecendo os valores de na base de .
(a) , tal que