Quais das transformações abaixo são lineares?
§ T: P2 longrightarrow P3, T(a x^2+b x+c)=a x^3+b x^2+c.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para a gente verificar se uma transformação , que vai de (polinômios de grau até 2) para (polinômios de grau até 3), é linear. O conteúdo que vamos usar aqui é Transformações Lineares. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades que uma transformação linear precisa ter.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação é linear se ela respeita duas coisas:
  1. Adição: para quaisquer polinômios e .
  2. Escala: para qualquer constante e polinômio .
Se a transformação cumprir essas duas propriedades, ela é linear. Vamos ver se faz isso.

Passo 3

Vamos pegar dois polinômios quaisquer em u(x) = a1x^2 + b1x + c1 . Digamos:
v(x) = a2x^2 + b2x + c2
T(u + v) = T( (a1 + a2)x^2 + (b1 + b2)x + (c1 + c2) )
Aplicando T(u + v) = (a1 + a2)x^3 + (b1 + b2)x^2 + (c1 + c2) na soma desses polinômios:
Pelo enunciado:

Passo 4

Agora, vamos ver o que é T(u) = a1x^3 + b1x^2 + c1 :
T(v) = a2x^3 + b2x^2 + c2
T(u) + T(v) = (a1 + a2)x^3 + (b1 + b2)x^2 + (c1 + c2)
Somando:
Viu só? . Isso significa que a propriedade da adição está valendo.

Passo 5

Vamos agora verificar a propriedade da escala. Pegue um polinômio T(k cdot u) = T(kax^2 + kbx + kc) = kax^3 + kbx^2 + kc e uma constante k cdot T(u) = k(a x^3 + b x^2 + c) = kax^3 + kbx^2 + kc . Aplicando :
Por outro lado:
De novo, vimos que . A propriedade da escala também está ok!

Resposta

Como respeita tanto a adição quanto a escala, a transformação é linear.

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