Existe uma transformação linear injetora
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre saber se existe uma transformação linear injetora
de
para
. Aqui, estamos lidando com transformações lineares, que são funções que preservam estruturas de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os dimensões desses espaços e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
é injetora se diferentes vetores em
são mapeados para diferentes vetores em
. Para que isso aconteça, a dimensão do espaço de partida
deve ser menor ou igual à dimensão do espaço de chegada
.
Passo 3
Vamos calcular a dimensão de cada espaço envolvido:
-
é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Cada matriz tem 4 entradas, então: -
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Cada polinômio pode ser escrito como , então:
Passo 4
Agora, comparamos as dimensões:
Como a dimensão do espaço de partida é maior que a do espaço de chegada, não é possível que uma transformação linear injetora exista nesse caso. Isso porque, inevitavelmente, haveria vetores diferentes em
que seriam mapeados para o mesmo vetor em
, violando a injetividade.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear injetora de
para
.
Exercícios relacionados
Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
(d) , tal que
(d)
Nos problemas de a) a d) são apresentados subconjuntos do
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais do
relativamente às operações de adição e multiplicação por esalar usuais.
e
20
Mostre que e
é isomorfo a
.
Mostre que