Existe uma transformação linear injetora T : M2 times 2(R) longrightarrow P2(R) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre saber se existe uma transformação linear injetora de para . Aqui, estamos lidando com transformações lineares, que são funções que preservam estruturas de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os dimensões desses espaços e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é injetora se diferentes vetores em são mapeados para diferentes vetores em . Para que isso aconteça, a dimensão do espaço de partida deve ser menor ou igual à dimensão do espaço de chegada .

Passo 3

Vamos calcular a dimensão de cada espaço envolvido:
  • dim(M2 times 2(R)) = 4 é o conjunto de todas as matrizes dim(P2(R)) = 3 com entradas reais. Cada matriz tem 4 entradas, então:
  • é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Cada polinômio pode ser escrito como , então:

Passo 4

Agora, comparamos as dimensões:
dim(M2 times 2(R)) = 4 > 3 = dim(P2(R))
Como a dimensão do espaço de partida é maior que a do espaço de chegada, não é possível que uma transformação linear injetora exista nesse caso. Isso porque, inevitavelmente, haveria vetores diferentes em que seriam mapeados para o mesmo vetor em , violando a injetividade.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear injetora de para .

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