Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
© T: R^4 R^3 T(x, y, z, t)=(x-y+z+t, 2 x-2 y+ 3 z+4 t, 3 x-3 y+4 z+5 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear específica. A matéria aqui envolve conceitos como matriz de transformação, núcleo (ou kernel) e imagem (ou imagem) de uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz da transformação, encontrar suas soluções para o núcleo e identificar a imagem da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear T(x, y, z, t) = x - y + z + t 2x - 2y + 3z + 4t 3x - 3y + 4z + 5t como uma matriz. A transformação dada é:
x y z t
Podemos representar isso como uma matriz A = 1 & -1 & 1 & 1 2 & -2 & 3 & 4 3 & -3 & 4 & 5 multiplicada pelo vetor :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de x y z t . O núcleo é o conjunto de todos os vetores 0 0 0 que satisfazem x - y + z + t = 0 2x - 2y + 3z + 4t = 0 3x - 3y + 4z + 5t = 0 . Isso significa resolver o sistema de equações:
1 & -1 & 1 & 1 & | & 0 2 & -2 & 3 & 4 & | & 0 3 & -3 & 4 & 5 & | & 0
Vamos montar a matriz aumentada e usar redução de linha para simplificar:
1 & -1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & | & 0
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & -1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
Agora, subtraindo a segunda linha da terceira linha:

Passo 4

Agora, vamos expressar as variáveis livres. Observamos que z + 2t = 0 Rightarrow z = -2r e x - y + z + t = 0 Rightarrow x = y - z - t = s - (-2r) - r = s + 2r - r = s + r são variáveis livres, já que não estão pivôs nas linhas resultantes. Vamos chamar x = s + r y = s z = -2r t = r e x y z t = s 1 1 0 0 + r 1 0 -2 1 .
Da segunda linha, temos:
Da primeira linha:
Então, as soluções são:
Podemos escrever o vetor solução como:

Passo 5

Então, o núcleo de 1 1 0 0 é gerado pelos vetores 1 0 -2 1 e 1 1 0 0 , 1 0 -2 1 . Isso significa que uma base para o núcleo é:
E a dimensão do núcleo, que é o número de vetores na base, é 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de 1 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 . A imagem é gerada pelas colunas da matriz 1 2 3 e 1 3 4 . Mas como reduzimos a matriz, podemos usar as colunas pivôs da matriz reduzida para determinar a base da imagem.
Da matriz reduzida:
1 2 3 , 1 3 4
As colunas pivôs são a primeira e a terceira. Então, as colunas correspondentes da matriz original são:
Portanto, uma base para a imagem de é:
A dimensão da imagem, que é o número de vetores na base, é 2.

Resposta

Base do núcleo de 1 1 0 0 , 1 0 -2 1 :
1 2 3 , 1 3 4
Dimensão do núcleo: 2
Base da imagem de :
Dimensão da imagem: 2

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