(20, paza) Um scistema massa-mola, massa
e constante clástica
. é forçado por uma força externa que qeostut a firmel
.
a) Reala a EDO para este sistema e apresente as soluçōes das partes homogênea e nâo-homogênea;
b) Cossidere que as condicoues iniciais são
e
.
a) Reala a EDO para este sistema e apresente as soluçōes das partes homogênea e nâo-homogênea;
b) Cossidere que as condicoues iniciais são
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre um sistema massa-mola que está sendo forçado por uma força externa. Vamos usar conceitos de mecânica clássica e equações diferenciais ordinárias (EDOs) para resolver. Precisamos montar a EDO que descreve o movimento desse sistema e encontrar as soluções para as partes homogênea e não-homogênea. Depois, vamos aplicar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sistema massa-mola. Imagine uma mola com constante elástica
ligada a uma massa
. Quando a massa se move, a mola exerce uma força de volta proporcional ao deslocamento, conforme a Lei de Hooke:
, onde
é o deslocamento.
Passo 3
De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força total
sobre a massa é igual ao produto da massa pela aceleração:
Nesse caso, a força externa aplicada é
.
Passo 4
A força total que age na massa é a soma das forças da mola e da força externa:
Rearranjando para deixar a equação igualada a zero, temos:
Essa é a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que descreve o sistema.
Passo 5
Vamos dividir a EDO em duas partes:
- Parte homogênea: É quando igualamos a força externa a zero:
- Parte não-homogênea: Inclui a força externa:
Passo 6
Resolvendo a parte homogênea:
A equação homogênea é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
A equação homogênea é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Resolvendo a parte não-homogênea:
Para encontrar uma solução particular ( ), assumimos uma forma semelhante à força externa. Como a força é senoidal, tentamos:
Para encontrar uma solução particular (
Substituímos
na EDO e resolvemos para
e
.
Após substituir e simplificar, obtemos:
Passo 8
Solução geral do sistema:
A solução completa é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
A solução completa
Passo 9
Agora, vamos considerar as condições iniciais fornecidas:
-
-
(onde )
Aplicando
na solução geral:
Calculando a derivada de
para encontrar
:
Aplicando
:
Dessa forma:
Resposta
A equação diferencial que descreve o sistema massa-mola forçado é:
As soluções são:
- Parte homogênea:
- Parte não-homogênea (particular):
Portanto, a solução completa do sistema ��:
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