(20, paza) Um scistema massa-mola, massa m e constante clástica k. é forçado por uma força externa que qeostut a firmel F(t)=F0 sin (omega t).
a) Reala a EDO para este sistema e apresente as soluçōes das partes homogênea e nâo-homogênea;
b) Cossidere que as condicoues iniciais são x(t=0)=x0 e v(t=0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre um sistema massa-mola que está sendo forçado por uma força externa. Vamos usar conceitos de mecânica clássica e equações diferenciais ordinárias (EDOs) para resolver. Precisamos montar a EDO que descreve o movimento desse sistema e encontrar as soluções para as partes homogênea e não-homogênea. Depois, vamos aplicar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sistema massa-mola. Imagine uma mola com constante elástica ligada a uma massa . Quando a massa se move, a mola exerce uma força de volta proporcional ao deslocamento, conforme a Lei de Hooke: , onde é o deslocamento.

Passo 3

De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força total Ftotal = m a = m d^2xdt^2 sobre a massa é igual ao produto da massa pela aceleração:
Nesse caso, a força externa aplicada é .

Passo 4

A força total que age na massa é a soma das forças da mola e da força externa:
m d^2xdt^2 = -k x + F0 sin(omega t)
Rearranjando para deixar a equação igualada a zero, temos:
m d^2xdt^2 + k x = F0 sin(omega t)
Essa é a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que descreve o sistema.

Passo 5

Vamos dividir a EDO em duas partes:
  1. Parte homogênea: É quando igualamos a força externa a zero:
m d^2xdt^2 + k x = 0
  1. Parte não-homogênea: Inclui a força externa:
m d^2xdt^2 + k x = F0 sin(omega t)

Passo 6

Resolvendo a parte homogênea:
A equação homogênea é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
xh(t) = A cos(raizkm t) + B sin(raizkm t)
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Resolvendo a parte não-homogênea:
Para encontrar uma solução particular ( xp(t) = C sin(omega t) + D cos(omega t) ), assumimos uma forma semelhante à força externa. Como a força é senoidal, tentamos:
xp(t) = F0m ( omega^2 - km ) sin(omega t)
Substituímos na EDO e resolvemos para e .
Após substituir e simplificar, obtemos:

Passo 8

Solução geral do sistema:
A solução completa x(t) = A cos(raizkm t) + B sin(raizkm t) + F0m ( omega^2 - km ) sin(omega t) é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Passo 9

Agora, vamos considerar as condições iniciais fornecidas:
  • x(0) = A + 0 + 0 = x0 Rightarrow A = x0
  • v(t) = dxdt = -A raizkm sin(raizkm t) + B raizkm cos(raizkm t) + F0 omegam ( omega^2 - km ) cos(omega t) (onde v(0) = 0 + B raizkm + F0 omegam ( omega^2 - km ) = 0 )
Aplicando B = -F0 omegam raizkm ( omega^2 - km ) = -F0 omegak ( omega^2 - km ) na solução geral:
Calculando a derivada de para encontrar :
Aplicando :
Dessa forma:

Resposta

A equação diferencial que descreve o sistema massa-mola forçado é:
m d^2xdt^2 + k x = F0 sin(omega t)
As soluções são:
  • Parte homogênea:
xh(t) = x0 cos(raizkm t) - F0 omegak ( omega^2 - km ) sin(raizkm t)
  • Parte não-homogênea (particular):
xp(t) = F0m ( omega^2 - km ) sin(omega t)
Portanto, a solução completa do sistema ��:
x(t) = x0 cos(raizkm t) - F0 omegak ( omega^2 - km ) sin(raizkm t) + F0m ( omega^2 - km ) sin(omega t)

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