Uma casca esférica espessa de carga
e densidade volumétrica
uniforme e limitada pelos raios
e
, onde
. Com
no infinito, determine o potencial elétrico V em função da distância
contada a partir do centro da distribuição, considerando as regiões ©
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo envolvido. Temos uma casca esférica espessa carregada com carga total
e densidade volumétrica uniforme
, limitada pelos raios
e
, onde
. Queremos encontrar o potencial elétrico
em função da distância
a partir do centro da casca, especificamente na região onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss e a definição de potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
em uma determinada região é calculado pela integral do campo elétrico
nessa região. Mas antes de calcular o potencial, precisamos determinar o campo elétrico na região
. Para isso, usamos a lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico em situações de simetria esférica.
Passo 3
Aplicando a lei de Gauss na região interna (
), consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio
menor que
. Como a densidade de carga é uniforme, a carga dentro dessa superfície gaussiana é proporcional ao volume dessa esfera. A carga interna
pode ser calculada pela fórmula:
Onde
é a densidade volumétrica de carga.
Passo 4
Aplicando a lei de Gauss:
Como o campo elétrico
é radial e de mesmo módulo em toda a superfície gaussiana, a integral se simplifica para:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos o campo elétrico
na região
, podemos encontrar o potencial elétrico
. Sabemos que o potencial é dado por:
Mas como vamos integrar a partir de
até
, precisamos considerar que o potencial no infinito é zero e calcular a contribuição do campo na região
.
Passo 6
Integrando o campo elétrico que encontramos:
Primeiro, calculamos a integral:
Passo 7
Para determinar
, precisamos considerar a continuidade do potencial na interface
. O potencial na superfície interna
deve ser igual ao potencial na superfície externa
. O cálculo completo envolve considerar todas as regiões, mas para simplificação, assumimos que
pode ser determinada a partir da condição de que
.
Passo 8
Finalmente, substituindo
e organizando os termos, obtemos o potencial elétrico na região
:
Resposta
O potencial elétrico na região
é dado por:
Exercícios relacionados
(20, paza) Um scistema massa-mola, massa
e constante clástica
. é forçado por uma força externa que qeostut a firmel
.
a) Reala a EDO para este sistema e apresente as soluçōes das partes homogênea e nâo-homogênea;
b) Cossidere que as condicoues iniciais são e
.
a) Reala a EDO para este sistema e apresente as soluçōes das partes homogênea e nâo-homogênea;
b) Cossidere que as condicoues iniciais são
Uma esfera metálica com
de raio possui uma carga de
. (b) Se
no infinito, qual é o potencial elétrico na superfície da esfera?
(a) Decaries cocuprimento de ondá, período, amplitude e velocidade de propagaçào da onda;
(b) Ecorma a equagio para a velocidade e para a aceleraçāo transversal;
© Qaes a neltão 5
(b) Ecorma a equagio para a velocidade e para a aceleraçāo transversal;
© Qaes a neltão 5
Na Fig. 13-32, um quadrado com 20,0 cm de lado é formado por quatro esferas de massas
,
e
. Na notação dos vetores unitários, qual é a força gravitacional exercida pelas esferas sobre uma esfera central de massa
?