Uma casca esférica espessa de carga e densidade volumétrica uniforme e limitada pelos raios e , onde . Com no infinito, determine o potencial elétrico V em função da distância contada a partir do centro da distribuição, considerando as regiões © .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo envolvido. Temos uma casca esférica espessa carregada com carga total e densidade volumétrica uniforme , limitada pelos raios e , onde . Queremos encontrar o potencial elétrico em função da distância a partir do centro da casca, especificamente na região onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss e a definição de potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico em uma determinada região é calculado pela integral do campo elétrico nessa região. Mas antes de calcular o potencial, precisamos determinar o campo elétrico na região . Para isso, usamos a lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico em situações de simetria esférica.

Passo 3

Aplicando a lei de Gauss na região interna ( ), consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio menor que . Como a densidade de carga é uniforme, a carga dentro dessa superfície gaussiana é proporcional ao volume dessa esfera. A carga interna pode ser calculada pela fórmula:
Onde é a densidade volumétrica de carga.

Passo 4

Aplicando a lei de Gauss:
Como o campo elétrico é radial e de mesmo módulo em toda a superfície gaussiana, a integral se simplifica para:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos o campo elétrico na região , podemos encontrar o potencial elétrico . Sabemos que o potencial é dado por:
Mas como vamos integrar a partir de até , precisamos considerar que o potencial no infinito é zero e calcular a contribuição do campo na região .

Passo 6

Integrando o campo elétrico que encontramos:
Primeiro, calculamos a integral:

Passo 7

Para determinar , precisamos considerar a continuidade do potencial na interface . O potencial na superfície interna deve ser igual ao potencial na superfície externa . O cálculo completo envolve considerar todas as regiões, mas para simplificação, assumimos que pode ser determinada a partir da condição de que .

Passo 8

Finalmente, substituindo e organizando os termos, obtemos o potencial elétrico na região :

Resposta

O potencial elétrico na região é dado por:

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