(2.0 poutos) Um oscilador, quando nâo amortecido, possui período igual a tau0=2,0 s, quando um pequeno amortucimento é introduaido, observa-se que a amplitude cai 50 % após um período pi1. Quão grande 6 o puraimetro de amortecimento 3 z quando comparado a frequência de oscilações livres omega0 ? Qual o valor de tau1 ?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos um oscilador não amortecido com um período tau0 = 2,0,s. Quando introduzimos um pequeno amortecimento, a amplitude desse oscilador cai para 50% após um período tau1. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. Quão grande é o parâmetro de amortecimento zeta em relação à frequência das oscilações livres omega0.
  2. Qual é o valor de tau1.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre oscilações amortecidas e como o amortecimento afeta a amplitude e o período das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para um oscilador não amortecido, a frequência angular é dada por:
omega0 = 2pitau0
Onde tau0 é o período das oscilações não amortecidas. Substituindo o valor dado:
omega0 = 2pi2,0,s = pi,rad/s

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o amortecimento. Quando adicionamos um amortecimento ao sistema, a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula para a amplitude em função do tempo é:
A(t) = A0 e^-zeta omega0 t
Onde:
  • A(t) é a amplitude no tempo t,
  • A0 é a amplitude inicial,
  • zeta é o parâmetro de amortecimento,
  • omega0 é a frequência angular das oscilações livres.

Passo 4

Segundo o enunciado, a amplitude cai para 50% após um período tau1. Isso significa que:
A(tau1) = 0,5 A0
Substituindo na equação da amplitude:
0,5 A0 = A0 e^-zeta omega0 tau1
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por A0:
0,5 = e^-zeta omega0 tau1

Passo 5

Para resolver para zeta, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(0,5) = -zeta omega0 tau1
Sabemos que ln(0,5) = -ln(2), então:
-ln(2) = -zeta omega0 tau1
Cancelando os sinais negativos:
ln(2) = zeta omega0 tau1

Passo 6

Agora, queremos encontrar o parâmetro de amortecimento zeta em relação à frequência omega0. Reorganizando a equação:
zeta = ln(2)omega0 tau1
Mas precisamos de mais informações para encontrar zeta ou tau1. No entanto, como não temos o valor de tau1, vamos considerar que queremos expressar zeta em termos de omega0 e tau1, conforme acima.

Passo 7

Agora, para encontrar tau1, podemos rearranjar a equação:
tau1 = ln(2)zeta omega0
Mas sem um valor específico para zeta, não podemos determinar um valor numérico para tau1. Porém, podemos entender que tau1 depende inversamente do produto do parâmetro de amortecimento zeta e da frequência omega0.

Resposta

O parâmetro de amortecimento zeta é dado por:
zeta = ln(2)omega0 tau1
E o valor de tau1 é:
tau1 = ln(2)zeta omega0
Essas fórmulas nos mostram como o amortecimento e o período afetado estão relacionados à frequência das oscilações livres.

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