(2.0 poutos) Um oscilador, quando nâo amortecido, possui período igual a , quando um pequeno amortucimento é introduaido, observa-se que a amplitude cai após um período . Quão grande 6 o puraimetro de amortecimento 3 z quando comparado a frequência de oscilações livres ? Qual o valor de ?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos um oscilador não amortecido com um período . Quando introduzimos um pequeno amortecimento, a amplitude desse oscilador cai para 50% após um período . Precisamos descobrir duas coisas:
  1. Quão grande é o parâmetro de amortecimento em relação à frequência das oscilações livres .
  2. Qual é o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre oscilações amortecidas e como o amortecimento afeta a amplitude e o período das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para um oscilador não amortecido, a frequência angular é dada por:
Onde é o período das oscilações não amortecidas. Substituindo o valor dado:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o amortecimento. Quando adicionamos um amortecimento ao sistema, a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula para a amplitude em função do tempo é:
Onde:
  • é a amplitude no tempo ,
  • é a amplitude inicial,
  • é o parâmetro de amortecimento,
  • é a frequência angular das oscilações livres.

Passo 4

Segundo o enunciado, a amplitude cai para 50% após um período . Isso significa que:
Substituindo na equação da amplitude:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que , então:
Cancelando os sinais negativos:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o parâmetro de amortecimento em relação à frequência . Reorganizando a equação:
Mas precisamos de mais informações para encontrar ou . No entanto, como não temos o valor de , vamos considerar que queremos expressar em termos de e , conforme acima.

Passo 7

Agora, para encontrar , podemos rearranjar a equação:
Mas sem um valor específico para , não podemos determinar um valor numérico para . Porém, podemos entender que depende inversamente do produto do parâmetro de amortecimento e da frequência .

Resposta

O parâmetro de amortecimento é dado por:
E o valor de é:
Essas fórmulas nos mostram como o amortecimento e o período afetado estão relacionados à frequência das oscilações livres.

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