(2.0 poutos) Um oscilador, quando nâo amortecido, possui período igual a
, quando um pequeno amortucimento é introduaido, observa-se que a amplitude cai
após um período
. Quão grande 6 o puraimetro de amortecimento 3 z quando comparado a frequência de oscilações livres
? Qual o valor de
?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos um oscilador não amortecido com um período
. Quando introduzimos um pequeno amortecimento, a amplitude desse oscilador cai para 50% após um período
. Precisamos descobrir duas coisas:
- Quão grande é o parâmetro de amortecimento
em relação à frequência das oscilações livres . - Qual é o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre oscilações amortecidas e como o amortecimento afeta a amplitude e o período das oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para um oscilador não amortecido, a frequência angular é dada por:
Onde
é o período das oscilações não amortecidas. Substituindo o valor dado:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o amortecimento. Quando adicionamos um amortecimento ao sistema, a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula para a amplitude em função do tempo é:
Onde:
-
é a amplitude no tempo , -
é a amplitude inicial, -
é o parâmetro de amortecimento, -
é a frequência angular das oscilações livres.
Passo 4
Segundo o enunciado, a amplitude cai para 50% após um período
. Isso significa que:
Substituindo na equação da amplitude:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o parâmetro de amortecimento
em relação à frequência
. Reorganizando a equação:
Mas precisamos de mais informações para encontrar
ou
. No entanto, como não temos o valor de
, vamos considerar que queremos expressar
em termos de
e
, conforme acima.
Passo 7
Agora, para encontrar
, podemos rearranjar a equação:
Mas sem um valor específico para
, não podemos determinar um valor numérico para
. Porém, podemos entender que
depende inversamente do produto do parâmetro de amortecimento
e da frequência
.
Resposta
O parâmetro de amortecimento
é dado por:
E o valor de
é:
Essas fórmulas nos mostram como o amortecimento e o período afetado estão relacionados à frequência das oscilações livres.
Exercícios relacionados
Uma carga q está distribuída uniformemente por todo um volume esférico de raio R. (a)Fazendo
no centro da esfera, determine uma expressão para o potencial elétrico para
e
.
( 2,0 pontos) Um objeto preso a uma mola uscila com periodo de
c amplitude de 10 cm . Em
, ele se encrutita
à esquerda da possção de equillorio, movendo-se para a esquerda. Qunis sâo a powiçĩo e a orientagio de seu movimento em
?
Uma esfera metálica com
de raio possui uma carga de
. (b) Se
no infinito, qual é o potencial elétrico na superfície da esfera?
(20, paza) Um scistema massa-mola, massa
e constante clástica
. é forçado por uma força externa que qeostut a firmel
.
a) Reala a EDO para este sistema e apresente as soluçōes das partes homogênea e nâo-homogênea;
b) Cossidere que as condicoues iniciais são e
.
a) Reala a EDO para este sistema e apresente as soluçōes das partes homogênea e nâo-homogênea;
b) Cossidere que as condicoues iniciais são