[20] o plano que passa pelo ponto
e contém os vetores
e
.
[21] a parte do cilindro
que se encontra entre os planos
e
.
[23] a parte da esfera
que se situa acima do cone
.
[26] a parte do plano
que está dentro do cilindro
.
[21] a parte do cilindro
[23] a parte da esfera
[26] a parte do plano
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação de um plano no espaço tridimensional que passa pelo ponto
e contém os vetores
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como determinar a equação de um plano usando um ponto e vetor normal, além de utilizar o produto vetorial para encontrar esse vetor normal.
Passo 2
Para encontrar a equação de um plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que seja perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Como temos dois vetores que estão no plano, podemos encontrar o vetor normal fazendo o produto vetorial desses dois vetores.
Temos os vetores:
O vetor normal
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Então, o vetor normal ao plano é
.
Passo 4
Com o vetor normal
e o ponto dado
, podemos escrever a equação do plano. A forma geral da equação de um plano é:
onde
é o ponto pelo qual o plano passa e
são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano é:
Exercícios relacionados
Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
[7]
é o triângulo com vértices
e
.
[8]
é a circunferência
.
[10]
é a curva da interseção do plano
com o cilindro
.
[7]
[8]
[10]
Calcule:
Use as substituições trigonométricas para calcular: