[20] o plano que passa pelo ponto e contém os vetores e .
[21] a parte do cilindro que se encontra entre os planos e .
[23] a parte da esfera que se situa acima do cone .
[26] a parte do plano que está dentro do cilindro .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação de um plano no espaço tridimensional que passa pelo ponto e contém os vetores e . Para resolver isso, vamos precisar saber como determinar a equação de um plano usando um ponto e vetor normal, além de utilizar o produto vetorial para encontrar esse vetor normal.

Passo 2

Para encontrar a equação de um plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que seja perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Como temos dois vetores que estão no plano, podemos encontrar o vetor normal fazendo o produto vetorial desses dois vetores.
Temos os vetores:
O vetor normal é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal e o ponto dado , podemos escrever a equação do plano. A forma geral da equação de um plano é:
onde é o ponto pelo qual o plano passa e são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
[7]
é o triângulo com vértices e .
[8]
é a circunferência .
[10]
é a curva da interseção do plano com o cilindro .
Calcule:
Use as substituições trigonométricas para calcular: