Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas: integral e^x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo usada para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral: e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e . Uma boa escolha é deixar porque a derivada de é fácil de calcular. Então, .

Passo 3

Agora, vamos derivar du = e^x , dx e integrar v = integral cos x , dx = sin x :
Aqui, é a derivada de e é a integral de .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes integral e^x cos x , dx = e^x sin x - integral sin x cdot e^x , dx :

Passo 5

Agora, temos uma nova integral u = e^x e dv = sin x , dx que também precisa ser resolvida por partes. Vamos repetir o processo, escolhendo:
du = e^x , dx e v = -cos x
Então:

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x - integral (-cos x) cdot e^x , dx
Simplificando:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x + integral e^x cos x , dx

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão de volta na nossa equação original:
integral e^x cos x , dx = e^x sin x - ( -e^x cos x + integral e^x cos x , dx )
Simplificando:
integral e^x cos x , dx = e^x sin x + e^x cos x - integral e^x cos x , dx

Passo 8

Agora, vamos somar 2 integral e^x cos x , dx = e^x (sin x + cos x) dos dois lados para isolar a integral:
integral e^x cos x , dx = e^x (sin x + cos x)2 + C
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral e^x cos x , dx = e^x (sin x + cos x)2 + C

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