Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
[7]
é o triângulo com vértices e .
[8]
é a circunferência .
[10]
é a curva da interseção do plano com o cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos três casos em que precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha, verificar se o campo é conservativo e, se necessário, aplicar o teorema de Stokes.

Passo 2

Vamos começar com o exercício [7].
Enunciado:
é o triângulo com vértices , e .
Objetivo: Calcular a integral de linha .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Além disso, se o campo é conservativo, a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado é zero.
Para verificar se é conservativo, vamos calcular o rotor de (ou seja, ). Se o rotor for zero, o campo é conservativo.
Calculando o determinante:
Calculando as derivadas:
Como , o campo não é conservativo. Portanto, a integral de linha não é necessariamente zero e precisamos calculá-la.

Passo 4

Como o campo não é conservativo, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre com a integral de superfície do rotor de sobre uma superfície que tem como fronteira.
Escolhemos como superfície o triângulo definido pelos vértices dados. Primeiro, precisamos parametrizar essa superfície.
A equação do plano que passa pelos pontos , e é . Podemos parametrizar em termos de e :
O vetor normal ao plano é derivado a partir da equação . Os coeficientes de , e representam os componentes do vetor normal:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Substituindo :
A integral de superfície se torna então:
A área do triângulo pode ser calculada usando a fórmula da área de um triângulo com três vértices:
Á
Portanto:

Passo 6

Substituindo na integral:

Resposta

A integral de linha para o exercício [7] é .

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[26] a parte do plano que está dentro do cilindro .