Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
[7] F(x, y, z) = (x + y^2) i + (y + z^2) j + (z + x^2) k
C é o triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
[8] F(x, y, z) = y*z i + 2*x*z j + e^(x*y) k
C é a circunferência x^2 + y^2 = 16, z = 5.
[10] F(x, y, z) = 2y i + xz j + (x+y) k
C é a curva da interseção do plano z = y + 2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos três casos em que precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha, verificar se o campo é conservativo e, se necessário, aplicar o teorema de Stokes.

Passo 2

Vamos começar com o exercício [7].
Enunciado:
C é o triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
Objetivo: Calcular a integral de linha .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial phi tal que . Além disso, se o campo é conservativo, a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado é zero.
Para verificar se F é conservativo, vamos calcular o rotor de F (ou seja, ). Se o rotor for zero, o campo é conservativo.
Calculando o determinante:
Calculando as derivadas:
Como , o campo F não é conservativo. Portanto, a integral de linha não é necessariamente zero e precisamos calculá-la.

Passo 4

Como o campo não é conservativo, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre C com a integral de superfície do rotor de F sobre uma superfície S que tem C como fronteira.
Escolhemos como superfície S o triângulo definido pelos vértices dados. Primeiro, precisamos parametrizar essa superfície.
A equação do plano que passa pelos pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) é . Podemos parametrizar S em termos de x e y:
O vetor normal n ao plano é derivado a partir da equação . Os coeficientes de x, y e z representam os componentes do vetor normal:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Substituindo :
A integral de superfície se torna então:
A área do triângulo S pode ser calculada usando a fórmula da área de um triângulo com três vértices:
Á
Portanto:

Passo 6

Substituindo na integral:

Resposta

A integral de linha para o exercício [7] é -1.

Exercícios relacionados