Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve substituições trigonométricas, que são técnicas usadas para resolver integrais que têm expressões quadráticas dentro de raízes. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de trigonometria e como fazer substituições para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: . Queremos transformá-la em uma forma que facilite a substituição trigonométrica. Observamos que ela se assemelha à identidade trigonométrica ou .
Passo 3
Vamos escolher a substituição que mais se adapta. Neste caso, vamos usar . Isso porque, ao substituir, a expressão dentro da raiz ficará em termos de , o que simplifica a integral.
Passo 4
Calculando em termos de :
Passo 5
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Como estamos trabalhando com substituição trigonométrica padrão, assumimos que é positivo, então .
Passo 7
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Agora, usamos a identidade para simplificar a integral:
Passo 9
Calculando as integrais separadamente:
Portanto:
Passo 10
Agora, voltamos à variável . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde: