Use as substituições trigonométricas para calcular: integral raiz1-3 x^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz1-3 x^2x , dx. Esse exercício envolve substituições trigonométricas, que são técnicas usadas para resolver integrais que têm expressões quadráticas dentro de raízes. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de trigonometria e como fazer substituições para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: 1 - 3x^2. Queremos transformá-la em uma forma que facilite a substituição trigonométrica. Observamos que ela se assemelha à identidade trigonométrica 1 - sin^2theta = cos^2theta ou 1 - tan^2theta = sec^2theta.

Passo 3

Vamos escolher a substituição que mais se adapta. Neste caso, vamos usar x = 1raiz3 sintheta. Isso porque, ao substituir, a expressão dentro da raiz ficará em termos de costheta, o que simplifica a integral.

Passo 4

Calculando dx em termos de theta:
x = 1raiz3 sintheta dx = 1raiz3 costheta , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral raiz1 - 3x^2x , dx = integral raiz1 - 3(1raiz3 sintheta)^21raiz3 sintheta cdot 1raiz3 costheta , dtheta

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz:
1 - 3(1raiz3 sintheta)^2 = 1 - sin^2theta = cos^2theta
Então, a integral fica:
integral raizcos^2theta1raiz3 sintheta cdot 1raiz3 costheta , dtheta = integral |costheta|1raiz3 sintheta cdot 1raiz3 costheta , dtheta
Como estamos trabalhando com substituição trigonométrica padrão, assumimos que costheta é positivo, então |costheta| = costheta.

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
integral costheta1raiz3 sintheta cdot 1raiz3 costheta , dtheta = integral cos^2theta13 sintheta , dtheta = 3 integral cos^2thetasintheta , dtheta

Passo 8

Agora, usamos a identidade cos^2theta = 1 - sin^2theta para simplificar a integral:
3 integral 1 - sin^2thetasintheta , dtheta = 3 integral ( 1sintheta - sintheta ) , dtheta = 3 integral csctheta , dtheta - 3 integral sintheta , dtheta

Passo 9

Calculando as integrais separadamente:
integral csctheta , dtheta = -ln|csctheta + cottheta| + C integral sintheta , dtheta = -costheta + C
Portanto:
3 ( -ln|csctheta + cottheta| + costheta ) + C

Passo 10

Agora, voltamos à variável x. Lembrando que x = 1raiz3 sintheta, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • O lado oposto a theta é raiz3x
  • A hipotenusa é 1
Então:
costheta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - 3x^2 csctheta = 1sintheta = raiz3x cottheta = costhetasintheta = raiz1 - 3x^2x

Passo 11

Substituindo de volta:
3 ( -ln|raiz3x + raiz1 - 3x^2x| + raiz1 - 3x^2 ) + C = -3 ln|raiz3 + raiz1 - 3x^2x| + 3raiz1 - 3x^2 + C

Resposta

A integral integral raiz1-3 x^2x , dx é igual a:
-3 ln|raiz3 + raiz1 - 3x^2x| + 3raiz1 - 3x^2 + C
onde C é a constante de integração.

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