Calcule: integral0^1 x raizx^2+1 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que facilite a integração. Observamos que dentro da raiz temos u = x^2 + 1 , então vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx :
x , dx = du2
Isso significa que:
Podemos rearranjar para obter :

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral0^1 x raizx^2+1 , dx = integralu(0)^u(1) raizu cdot du2 = 12 integral1^2 raizu , du
A integral de integral raizu , du = 23 u^3/2 em relação a é:

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
12 [ 23 u^3/2 ]1^2 = 13 ( 2^3/2 - 1^3/2 ) = 13 (2 raiz2 - 1)

Resposta

A integral vale .

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