( 20 pontos) Considere o problema de valor inicial
Resolva o pvi.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente está trabalhando com uma equação diferencial do primeiro grau que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar bem claro o que temos:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é o valor inicial de
quando
.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma:
onde
e
.
Passo 4
Vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Explicando: Integramos
em relação a
e depois tiramos o exponencial disso.
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso torna a esquerda da equação a derivada de
.
Passo 6
Reescrevemos a equação como a derivada do produto:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 7
Integrando:
onde
é a constante de integração. Para resolver a integral, usamos integração por partes ou uma fórmula padrão para integrais do tipo
.
Passo 8
Calculando a integral, temos:
Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral do problema de valor inicial é:
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, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo ou para cima e o(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de
.
( 20 pontos) Considere o problema de valor inicial
Determine o valor de
que separa as soluções que tendem a zero das que crescem indefinidamente, em valor absoluto, quando
.
Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
.