( 20 pontos) Considere o problema de valor inicial
y' - 1/2 y = 2 cos t, y(0) = a
Resolva o pvi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente está trabalhando com uma equação diferencial do primeiro grau que envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar bem claro o que temos:
Aqui, é a derivada de em relação a , e é o valor inicial de quando .

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma:
onde e .

Passo 4

Vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Explicando: Integramos em relação a e depois tiramos o exponencial disso.

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso torna a esquerda da equação a derivada de .

Passo 6

Reescrevemos a equação como a derivada do produto:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 7

Integrando:
onde é a constante de integração. Para resolver a integral, usamos integração por partes ou uma fórmula padrão para integrais do tipo .

Passo 8

Calculando a integral, temos:
Então:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral do problema de valor inicial é:

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y' - 1/2 y = 2 cos t, y(0) = a
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