(1,0 ponto) Dada a função
, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo ou para cima e o(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos descobrir onde o gráfico dessa função é côncavo para cima ou para baixo, além de identificar os pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
, que nos dá a inclinação da função em cada ponto. Vamos derivar termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
Para descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo, precisamos saber onde
é positiva ou negativa. Primeiro, vamos fatorar
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
que tornam
, pois esses são os candidatos a pontos de inflexão:
Passo 6
Vamos analisar os intervalos definidos por esses valores críticos (
e
) para determinar a concavidade:
-
Intervalo
: - Escolha
-
(negativo) - Então, concava para baixo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
-
(positivo) - Então, concava para cima.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
-
(negativo) - Então, concava para baixo.
- Escolha
Passo 7
Com base nisso, os pontos onde a concavidade muda (pontos de inflexão) ocorrem em
e
. Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo
na função original:
-
Para
: Ponto de inflexão em -
Para
: Ponto de inflexão em
Resposta
- Concavidade para baixo:
e - Concavidade para cima:
- Pontos de inflexão:
e
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, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde
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.
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