(1,0 ponto) Dada a função f(x) = 4x^3 - x^4, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo ou para cima e o(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir onde o gráfico dessa função é côncavo para cima ou para baixo, além de identificar os pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de , que nos dá a inclinação da função em cada ponto. Vamos derivar termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

Para descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo, precisamos saber onde é positiva ou negativa. Primeiro, vamos fatorar :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de que tornam , pois esses são os candidatos a pontos de inflexão:

Passo 6

Vamos analisar os intervalos definidos por esses valores críticos ( e ) para determinar a concavidade:
  1. Intervalo :
    • Escolha
    • (negativo)
    • Então, concava para baixo.
  2. Intervalo :
    • Escolha
    • (positivo)
    • Então, concava para cima.
  3. Intervalo :
    • Escolha
    • (negativo)
    • Então, concava para baixo.

Passo 7

Com base nisso, os pontos onde a concavidade muda (pontos de inflexão) ocorrem em e . Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo na função original:
  1. Para :
    Ponto de inflexão em
  2. Para :
    Ponto de inflexão em

Resposta

  • Concavidade para baixo: e
  • Concavidade para cima:
  • Pontos de inflexão: e

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