( 20 pontos) Considere o problema de valor inicial
y' - 1/2 y = 2 cos t, y(0) = a
Determine o valor de a que separa as soluções que tendem a zero das que crescem indefinidamente, em valor absoluto, quando t -> +infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo é descobrir qual valor de faz com que a solução da equação tenda a zero quando vai para mais infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, temos e . Agora, precisamos encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver a equação.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

A integral tem uma solução padrão:
No nosso caso, e . Aplicando isso:

Passo 7

Voltando à equação após a integração:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituímos na solução geral:

Passo 10

Analisando o comportamento de quando :
  • O termo cresce exponencialmente.
  • Se , esse termo faz crescer ou decrescer indefinidamente.
  • Para que tenda a zero, precisamos que o coeficiente de seja zero:

Resposta

O valor de que separa as soluções que tendem a zero das que crescem indefinidamente quando é:

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Reduza à forma a + b i cada uma das expressões dadas. (1 + i/3)(-6/5 + 3i).