( 20 pontos) Considere o problema de valor inicial
Determine o valor de
que separa as soluções que tendem a zero das que crescem indefinidamente, em valor absoluto, quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo é descobrir qual valor de
faz com que a solução da equação tenda a zero quando
vai para mais infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, temos
e
. Agora, precisamos encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver a equação.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
A integral
tem uma solução padrão:
No nosso caso,
e
. Aplicando isso:
Passo 7
Voltando à equação após a integração:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituímos
na solução geral:
Passo 10
Analisando o comportamento de
quando
:
- O termo
cresce exponencialmente. - Se
, esse termo faz crescer ou decrescer indefinidamente. - Para que
tenda a zero, precisamos que o coeficiente de seja zero:
Resposta
O valor de
que separa as soluções que tendem a zero das que crescem indefinidamente quando
é:
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Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
.
Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
.