( 60 pontos) Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisaremos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dará a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos identificar os termos
e
:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma constante de integração que pode depender de
.
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar à função
:
Isso implica que
, então
é uma constante verdadeira.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.