( 60 pontos) Resolva as equações diferenciais. d y/d x = -(e^x sen(y) - 2y sen(x)) / (e^x cos(y) + 2 cos(x))

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisaremos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dará a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos identificar os termos e :
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma constante de integração que pode depender de .

Passo 5

Agora, para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar à função :
Isso implica que , então é uma constante verdadeira.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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