(20 pontos) Construa as tábuas de operações dos grupos e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos construir as tábuas de operações para os grupos e . Aqui, representa o conjunto dos inteiros de 0 a 12, e as operações são a adição e a multiplicação módulo 13. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a aritmética modular, ou seja, como somar e multiplicar números e depois encontrar o resto da divisão por 13.
Passo 2
Vamos começar construindo a tabela de adição para . A adição modular significa que somamos dois números e, se o resultado for maior ou igual a 13, subtraímos 13 para encontrar o resto. Por exemplo, , e . Então, na tabela de adição, a soma de 7 e 8 será 2.
Passo 3
Agora, vamos construir a tabela de multiplicação para . A multiplicação modular funciona da mesma forma: multiplicamos dois números e depois encontramos o resto da divisão por 13. Por exemplo, , e . Então, na tabela de multiplicação, o produto de 4 e 5 será 7.
Passo 4
Para construir as tabelas, vamos listar os números de 0 a 12 tanto nas linhas quanto nas colunas. Em cada célula, aplicamos a operação correspondente e escrevemos o resultado módulo 13.