(20 pontos) Construa as tábuas de operações dos grupos (Z13,+) e (Z13, cdot).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos construir as tábuas de operações para os grupos (Z13,+) e (Z13, cdot). Aqui, Z13 representa o conjunto dos inteiros de 0 a 12, e as operações são a adição e a multiplicação módulo 13. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a aritmética modular, ou seja, como somar e multiplicar números e depois encontrar o resto da divisão por 13.

Passo 2

Vamos começar construindo a tabela de adição para (Z13,+). A adição modular significa que somamos dois números e, se o resultado for maior ou igual a 13, subtraímos 13 para encontrar o resto. Por exemplo, 7 + 8 = 15, e 15 mod 13 = 2. Então, na tabela de adição, a soma de 7 e 8 será 2.

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de multiplicação para (Z13, cdot). A multiplicação modular funciona da mesma forma: multiplicamos dois números e depois encontramos o resto da divisão por 13. Por exemplo, 4 times 5 = 20, e 20 mod 13 = 7. Então, na tabela de multiplicação, o produto de 4 e 5 será 7.

Passo 4

Para construir as tabelas, vamos listar os números de 0 a 12 tanto nas linhas quanto nas colunas. Em cada célula, aplicamos a operação correspondente e escrevemos o resultado módulo 13.

Resposta

Tabela de Adição em Z13:
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tabela de Multiplicação em Z13:
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11
3 0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10
4 0 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9
5 0 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8
6 0 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7
7 0 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6
8 0 8 3 11 6 1 9 4 12 5 10 7 2
9 0 9 5 1 10 6 2 11 5 0 8 4 7
10 0 10 7 4 1 11 8 5 10 8 12 9 6
11 0 11 9 7 5 3 1 12 7 4 9 10 8
12 0 12 11 10 9 8 7 6 2 7 6 8 12

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