Determine as equações reduzidas na variável x da retas de interseção dos planos dados abaixo.
pi1: 3 x+y-3 z-5=0 e pi2: x-y-z-3=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as equações reduzidas em termos de das retas que são a interseção de dois planos. Aqui, estamos trabalhando com geometria tridimensional, especificamente com planos e suas interseções. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para resolver o sistema de equações que representa os dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos planos que nos foram dadas:
pi1: 3x + y - 3z - 5 = 0
pi2: x - y - z - 3 = 0
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre e em termos de . Para isso, podemos resolver esse sistema de equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos começar somando as duas equações para eliminar o (3x + y - 3z - 5) + (x - y - z - 3) = 0 + 0 . Assim, temos:
4x - 4z - 8 = 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre 4x - 4z = 8 e x - z = 2 Rightarrow z = x - 2 :
Então, descobrimos que pode ser expresso em termos de .

Passo 5

Com o valor de x - y - z - 3 = 0 em mãos, vamos substituir x - y - (x - 2) - 3 = 0 em uma das equações originais para encontrar x - y - x + 2 - 3 = 0 . Vamos usar a segunda equação:
- y - 1 = 0 Rightarrow y = -1
Então, descobrimos que é constante e igual a .

Resposta

As equações reduzidas em termos de y = -1 da reta de interseção são:
z = x - 2

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