© (10 pontos) Qual é o simétrico de um elemento genérico do R^2 na operação * ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta qual é o simétrico de um elemento genérico de R^2 na operação *. Isso está relacionado ao estudo de grupos na álgebra abstrata, onde a operação * é uma regra que combina dois elementos do conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um elemento simétrico (ou inverso) dentro desse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que R^2 representa o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, tipo (x, y). A operação * é uma regra que combina dois desses pares para formar outro par em R^2. No caso mais comum, essa operação é a adição de vetores, onde (x1, y1) * (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).

Passo 3

O elemento simétrico (ou inverso) de um elemento (x, y) em R^2 na operação * é aquele que, quando combinado com (x, y) usando a operação *, resulta no elemento neutro do grupo. No caso da adição, o elemento neutro é (0, 0), porque (x, y) + (-x, -y) = (0, 0).

Passo 4

Então, para encontrar o simétrico de um elemento genérico (x, y) em R^2, precisamos encontrar um par (a, b) tal que:
(x, y) * (a, b) = (0, 0)
Assumindo que * é adição, temos:
(x + a, y + b) = (0, 0)

Passo 5

Resolvendo as equações:
x + a = 0 Rightarrow a = -x
y + b = 0 Rightarrow b = -y
Portanto, o simétrico de (x, y) é (-x, -y).

Resposta

O simétrico de um elemento genérico (x, y) em R^2 na operação * é (-x, -y).

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