(20 pontos) 5- Dados os vetores:
l A=-2,00 imath+3,00 jmath+4,00 k B=3,00 imath+1,00 jmath-3,00 k
Determine o ângulo entre eles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço 3D. A gente tem os vetores A = -2,00 imath + 3,00 jmath + 4,00 k e B = 3,00 imath + 1,00 jmath - 3,00 k. Para isso, vamos usar o produto escalar e as magnitudes dos vetores para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre A e B. O produto escalar de dois vetores é dado por:
A cdot B = Ax times Bx + Ay times By + Az times Bz
Aplicando os valores dos vetores:
A cdot B = (-2,00) times 3,00 + 3,00 times 1,00 + 4,00 times (-3,00)
A cdot B = -6,00 + 3,00 - 12,00 = -15,00

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes (ou módulos) de cada vetor. A magnitude de um vetor V = Vx imath + Vy jmath + Vz k é:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Para A:
|A| = raiz(-2,00)^2 + (3,00)^2 + (4,00)^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29 approx 5,385
Para B:
|B| = raiz(3,00)^2 + (1,00)^2 + (-3,00)^2 = raiz9 + 1 + 9 = raiz19 approx 4,359

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo theta entre eles:
cos(theta) = A cdot B|A| times |B|
Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = -15,005,385 times 4,359 approx -15,0023,458 approx -0,639

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno (também conhecida como $ \cos^{-1} $):
cos^-1

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 129,9^circ.

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