(20 pontos) Determine a(s) equação(ões) da(s) esfera(s) cujo centro pertence à reta r:lx=-2 y=0 z=t , t in R, e é tangente aos planos alpha: x-2 z-8=0 e beta: 2 x-z+5=0.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma ou mais esferas que satisfazem duas condições:
  1. Centro na reta l x = -2 y = 0 z = t : O centro da esfera deve estar em uma reta específica dada por . Isso significa que as coordenadas do centro da esfera são , onde pode ser qualquer número real.
  2. Tangência aos planos e : A esfera deve ser tangente a dois planos dados pelas equações e . Isso implica que a distância do centro da esfera a cada um desses planos deve ser igual ao raio da esfera.
Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especialmente a fórmula para a distância ponto-plano e a equação geral da esfera. Vamos por partes para resolver isso certinho!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o centro da esfera. Como o centro está na reta C(-2, , 0, , t) , podemos escrever as coordenadas do centro como:
Aqui, é um parâmetro real que varia. Nosso objetivo é descobrir quais valores de satisfazem as condições de tangência aos dois planos.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de como calcular a distância de um ponto a um plano. A fórmula para a distância d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto ao plano é:
Essa distância será igual ao raio da esfera, já que a esfera é tangente ao plano. Vamos aplicar isso para os planos e .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a distância do centro dalpha = |1 cdot (-2) + 0 cdot 0 + (-2) cdot t - 8|raiz1^2 + 0^2 + (-2)^2 = |-2 - 2t - 8|raiz1 + 0 + 4 = | -10 - 2t |raiz5 ao plano dalpha = |2t + 10|raiz5 .
Aplicando a fórmula da distância:
dbeta = |2 cdot (-2) + 0 cdot 0 + (-1) cdot t + 5|raiz2^2 + 0^2 + (-1)^2 = |-4 - t + 5|raiz4 + 0 + 1 = |1 - t|raiz5
Simplificando:
De maneira similar, vamos calcular a distância ao plano :

Passo 5

Como a esfera é tangente a ambos os planos, a distância do centro aos planos deve ser igual ao raio |2t + 10|raiz5 = r e |1 - t|raiz5 = r . Assim, temos:
|2t + 10|raiz5 = |1 - t|raiz5
Como ambos os lados são iguais a |2t + 10| = |1 - t| , podemos igualar as duas expressões:
Como os denominadores são iguais e positivos, podemos simplificar a equação para:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação 2t + t = 1 - 10 3t = -9 t = -3 . Vamos considerar os casos que satisfazem essa igualdade.
Caso 1: 2t + 10 = -1 + t 2t - t = -1 - 10 t = -11
Caso 2:
Portanto, temos duas soluções para : e .

Passo 7

Com os valores de dalpha = |2(-3) + 10|raiz5 = |-6 + 10|raiz5 = 4raiz5 = 4raiz55 encontrados, podemos determinar o centro das esferas e o raio.
Primeiro, vamos calcular o raio usando a distância para o plano dalpha = |2(-11) + 10|raiz5 = |-22 + 10|raiz5 = 12raiz5 = 12raiz55 ou .
Para :
Para :

Resposta

As equações das esferas são:
  1. Com centro em (x + 2)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = (4raiz55)^2 e raio (x + 2)^2 + y^2 + (z + 11)^2 = (12raiz55)^2 :
  1. Com centro em e raio :

Exercícios relacionados

Suponha que em uma sala de aula tenhamos 6 carteiras em um fileira, aonde querem sentar 3 meninos e 3 meninas.
(d) E se as crianças quiserem se sentar alternando meninas e meninos? (não importando se começamos a fileira com meninas ou meninos)
Considere a funçäo f: B [-1,1], definida por f(x)-12 sen x+sen|x2| cos |x2|
Nessas condiçäes é correto afirmar que
f(x)-0 se e só se x <= 0
Devemos escolher um comitê com 2 homens e 2 mulheres a partir de um grupo com 7 homens e 8 mulheres. Porém 2 deles, Sérgio e Sandra, se recusam a trabalhar juntos. Quantas escolhas viáveis temos para formar o comitê?
Nas afirmaçöes a seguir, associe V para as verdadeiras e F para as falsas.
() O polinômio p(x)-x^4-2 x^3+2 x^2-2 x+1 possui apenas uma raiz real.