(20 pontos) Determine equação(ões) da(s) esfera(s) cujo centro pertence à reta é tangente aos planos alpha: x-2 z-8=0 e beta: 2 x-z+5=0.
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma ou mais esferas que satisfazem duas condições:
Centro na reta l x = -2 y = 0 z = t : O centro da esfera deve estar em uma reta específica dada por . Isso significa que as coordenadas do centro da esfera são , onde pode ser qualquer número real.
Tangência aos planos e : A esfera deve ser tangente a dois planos dados pelas equações e . Isso implica que a distância do centro da esfera a cada um desses planos deve ser igual ao raio da esfera.
Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especialmente a fórmula para a distância ponto-plano e a equação geral da esfera. Vamos por partes para resolver isso certinho!
Passo 2
Primeiro, vamos representar o centro da esfera. Como o centro está na reta C(-2, , 0, , t) , podemos escrever as coordenadas do centro como:
Aqui, é um parâmetro real que varia. Nosso objetivo é descobrir quais valores de satisfazem as condições de tangência aos dois planos.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de como calcular a distância de um ponto a um plano. A fórmula para a distância d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto ao plano é:
Essa distância será igual ao raio da esfera, já que a esfera é tangente ao plano. Vamos aplicar isso para os planos e .
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a distância do centro dalpha = |1 cdot (-2) + 0 cdot 0 + (-2) cdot t - 8|raiz1^2 + 0^2 + (-2)^2 = |-2 - 2t - 8|raiz1 + 0 + 4 = | -10 - 2t |raiz5 ao plano dalpha = |2t + 10|raiz5 .
De maneira similar, vamos calcular a distância ao plano :
Passo 5
Como a esfera é tangente a ambos os planos, a distância do centro aos planos deve ser igual ao raio |2t + 10|raiz5 = r e |1 - t|raiz5 = r . Assim, temos:
|2t + 10|raiz5 = |1 - t|raiz5
Como ambos os lados são iguais a |2t + 10| = |1 - t| , podemos igualar as duas expressões:
Como os denominadores são iguais e positivos, podemos simplificar a equação para:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação 2t + t = 1 - 10 3t = -9 t = -3 . Vamos considerar os casos que satisfazem essa igualdade.
Caso 1: 2t + 10 = -1 + t 2t - t = -1 - 10 t = -11
Caso 2:
Portanto, temos duas soluções para : e .
Passo 7
Com os valores de dalpha = |2(-3) + 10|raiz5 = |-6 + 10|raiz5 = 4raiz5 = 4raiz55 encontrados, podemos determinar o centro das esferas e o raio.
Primeiro, vamos calcular o raio usando a distância para o plano dalpha = |2(-11) + 10|raiz5 = |-22 + 10|raiz5 = 12raiz5 = 12raiz55 ou .
Para :
Para :
Resposta
As equações das esferas são:
Com centro em (x + 2)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = (4raiz55)^2 e raio (x + 2)^2 + y^2 + (z + 11)^2 = (12raiz55)^2 :