Devemos escolher um comitê com 2 homens e 2 mulheres a partir de um grupo com 7 homens e 8 mulheres. Porém 2 deles, Sérgio e Sandra, se recusam a trabalhar juntos. Quantas escolhas viáveis temos para formar o comitê?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que formar um comitê com 2 homens e 2 mulheres a partir de um grupo que tem 7 homens e 8 mulheres. Mas tem um detalhe: Sérgio (um dos homens) e Sandra (uma das mulheres) não querem trabalhar juntos no mesmo comitê. Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras podemos montar esse comitê obedecendo a essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular sem nenhuma restrição quantos comitês podemos formar. Para isso, usamos combinações, que nos dão o número de maneiras de escolher um grupo sem se importar com a ordem.
Para escolher 2 homens dentre 7, usamos a combinação:
C1 = binom72
E para escolher 2 mulheres dentre 8:
C2 = binom82
O número total de comitês possíveis sem restrição é o produto dessas duas combinações:
Total = C1 times C2 = binom72 times binom82

Passo 3

Vamos calcular essas combinações:
binom72 = 7!2!(7-2)! = 7 times 62 times 1 = 21
binom82 = 8!2!(8-2)! = 8 times 72 times 1 = 28
Então, sem restrição, temos:
Total = 21 times 28 = 588
ou seja, 588 comitês possíveis.

Passo 4

Agora, precisamos considerar a restrição: Sérgio e Sandra não podem estar juntos no comitê. Para descobrir quantos comitês inválidos existem (ou seja, que têm tanto Sérgio quanto Sandra), fazemos o seguinte:
Se Sérgio está no comitê, temos 1 homem já escolhido, então faltam escolher 1 mais homem dentre os 6 restantes:
Chomens = binom61 = 6
Se Sandra está no comitê, temos 1 mulher já escolhida, então faltam escolher 1 mais mulher dentre as 7 restantes:
Cmulheres = binom71 = 7
Portanto, o número de comitês que têm tanto Sérgio quanto Sandra é:
Invalidos = Chomens times Cmulheres = 6 times 7 = 42

Passo 5

Para encontrar o número de comitês válidos (que respeitam a restrição), subtraímos os comitês inválidos do total de comitês sem restrição:
Validos = Total - Invalidos = 588 - 42 = 546

Resposta

Existem 546 escolhas viáveis para formar o comitê respeitando a condição de que Sérgio e Sandra não trabalhem juntos.

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