Devemos escolher um comitê com 2 homens e 2 mulheres a partir de um grupo com 7 homens e 8 mulheres. Porém 2 deles, Sérgio e Sandra, se recusam a trabalhar juntos. Quantas escolhas viáveis temos para formar o comitê?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos que formar um comitê com 2 homens e 2 mulheres a partir de um grupo que tem 7 homens e 8 mulheres. Mas tem um detalhe: Sérgio (um dos homens) e Sandra (uma das mulheres) não querem trabalhar juntos no mesmo comitê. Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras podemos montar esse comitê obedecendo a essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular sem nenhuma restrição quantos comitês podemos formar. Para isso, usamos combinações, que nos dão o número de maneiras de escolher um grupo sem se importar com a ordem.
Para escolher 2 homens dentre 7, usamos a combinação:
E para escolher 2 mulheres dentre 8:
O número total de comitês possíveis sem restrição é o produto dessas duas combinações:
Passo 3
Vamos calcular essas combinações:
Então, sem restrição, temos:
ou seja, 588 comitês possíveis.
Passo 4
Agora, precisamos considerar a restrição: Sérgio e Sandra não podem estar juntos no comitê. Para descobrir quantos comitês inválidos existem (ou seja, que têm tanto Sérgio quanto Sandra), fazemos o seguinte:
Se Sérgio está no comitê, temos 1 homem já escolhido, então faltam escolher 1 mais homem dentre os 6 restantes:
Se Sandra está no comitê, temos 1 mulher já escolhida, então faltam escolher 1 mais mulher dentre as 7 restantes:
Portanto, o número de comitês que têm tanto Sérgio quanto Sandra é:
Passo 5
Para encontrar o número de comitês válidos (que respeitam a restrição), subtraímos os comitês inválidos do total de comitês sem restrição:
Resposta
Existem 546 escolhas viáveis para formar o comitê respeitando a condição de que Sérgio e Sandra não trabalhem juntos.