(20 pontos) Esboce e calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelas equaçōes y=1 / x ; x=1 ; x=4 ; y=0.
l y=1x, x=1, x=4, y=0 V=pi integral1^4(1x)^2 d x Rightarrow pi integral1^4 1x^2 d x>) d x=1 x^4 d x=pi =integral V=pi(-14+1)=integral 14=5 pi4 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que forma quando a região delimitada pelas equações , , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas , , e delimitam uma área no plano . Essa área está entre e , abaixo da curva e acima do eixo (já que é o eixo ).

Passo 3

Agora, para encontrar o volume desse sólido, usamos a fórmula do método dos discos:
V = pi integrala^b ( f(x) )^2 dx
Aqui, é a função que define a fronteira superior da região, que no nosso caso é , e e são os limites de integração, que são e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
V = pi integral1^4 ( 1x )^2 dx = pi integral1^4 1x^2 dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de integral 1x^2 dx = -1x + C em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
V = pi [ -1x ]1^4 = pi ( -14 - ( -11 ) ) = pi ( -14 + 1 )

Passo 7

Simplificando dentro dos parênteses:
-14 + 1 = -1 + 44 = 34

Passo 8

Multiplicando pelo V = pi times 34 = 3pi4 :

Resposta

O volume do sólido formado pela revolução da região dada em torno do eixo é unidades cúbicas.

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