(20 pontos) Esboce e calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo
, da região delimitada pelas equaçōes
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que forma quando a região delimitada pelas equações
,
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas
,
,
e
delimitam uma área no plano
. Essa área está entre
e
, abaixo da curva
e acima do eixo
(já que
é o eixo
).
Passo 3
Agora, para encontrar o volume desse sólido, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui,
é a função que define a fronteira superior da região, que no nosso caso é
, e
e
são os limites de integração, que são
e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Passo 5
Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 8
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido formado pela revolução da região dada em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use a técnica de separação de variáveis escrevendo
. Obtenha as soluções das duas EDOs resultantes. (note que uma delas é a equação de Euler conforme visto numa das listas de exercícios anteriores)
Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
-
-
-
(4)
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Calcule as seguintes integrais definidas:
Resposta: