Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
  1. sum k+32 k^2+1
  2. sum k^2-4k^3+k+5
  3. sum k+raizkk+k^3
    (4) sum 2 k+2raizk^3+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são quatro séries infinitas e o desafio é descobrir se cada uma delas converge ou diverge usando o Teste do Limite. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries e como aplicar o teste do limite para analisar o comportamento delas quando o índice cresce para o infinito.

Passo 2

Série 1: limk to infty k + 32k^2 + 1 = limk to infty 1 + 3k2k + 1k = 0
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando fica muito grande. No numerador, temos , que cresce proporcionalmente a . No denominador, temos , que cresce proporcionalmente a . Quando dividimos algo que cresce como por algo que cresce como , o resultado tende a zero.
Vamos calcular o limite:
Como o limite é zero, o teste do limite é inconclusivo nesse caso. Precisamos usar outro teste, como o Teste da Comparação ou o Teste da Integral. Observando que se comporta como para grande, e sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Portanto, a série 1 diverge.

Passo 3

Série 2: limk to infty k^2 - 4k^3 + k + 5 = limk to infty 1 - 4k^2k + 1k^2 + 5k^3 = 0
Aqui, no numerador temos , que cresce como , e no denominador , que cresce como . Mais uma vez, dividindo algo que cresce como por algo que cresce como , o resultado tende a zero.
Vamos calcular o limite:
Como o limite deu zero, o teste do limite novamente é inconclusivo. Observando que se comporta como para grande, que sabemos que diverge, podemos concluir que a série 2 também diverge.

Passo 4

Série 3: limk to infty k + raizkk + k^3 = limk to infty 1 + 1raizk1k^2 + 1 = 0
No numerador temos , que cresce como , e no denominador , que cresce como . Então, se comporta como .
Vamos calcular o limite:
O limite é zero, então o teste do limite não nos dá a resposta. Mas como vimos que o termo se comporta como e a série é conhecida por convergir (série p com ), podemos concluir que a série 3 converge.

Passo 5

Série 4: limk to infty 2k + 2raizk^3 + 2 = limk to infty 2 + 2kraizk + 2k^3 = 0
No numerador temos , que cresce como , e no denominador , que cresce como . Portanto, se comporta como .
Vamos calcular o limite:
O limite é zero, então novamente o teste do limite não é suficiente. Observando que se comporta como e a série diverge (série p com ), concluímos que a série 4 diverge.

Resposta

  1. Diverge
  2. Diverge
  3. Converge
  4. Diverge

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