Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
-
-
-
(4)
(4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são quatro séries infinitas e o desafio é descobrir se cada uma delas converge ou diverge usando o Teste do Limite. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries e como aplicar o teste do limite para analisar o comportamento delas quando o índice
cresce para o infinito.
Passo 2
Série 1:
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
fica muito grande. No numerador, temos
, que cresce proporcionalmente a
. No denominador, temos
, que cresce proporcionalmente a
. Quando dividimos algo que cresce como
por algo que cresce como
, o resultado tende a zero.
Vamos calcular o limite:
Como o limite é zero, o teste do limite é inconclusivo nesse caso. Precisamos usar outro teste, como o Teste da Comparação ou o Teste da Integral. Observando que
se comporta como
para
grande, e sabemos que a série
é a série harmônica, que diverge. Portanto, a série 1 diverge.
Passo 3
Série 2:
Aqui, no numerador temos
, que cresce como
, e no denominador
, que cresce como
. Mais uma vez, dividindo algo que cresce como
por algo que cresce como
, o resultado tende a zero.
Vamos calcular o limite:
Como o limite deu zero, o teste do limite novamente é inconclusivo. Observando que
se comporta como
para
grande, que sabemos que diverge, podemos concluir que a série 2 também diverge.
Passo 4
Série 3:
No numerador temos
, que cresce como
, e no denominador
, que cresce como
. Então,
se comporta como
.
Vamos calcular o limite:
O limite é zero, então o teste do limite não nos dá a resposta. Mas como vimos que o termo se comporta como
e a série
é conhecida por convergir (série p com
), podemos concluir que a série 3 converge.
Passo 5
Série 4:
No numerador temos
, que cresce como
, e no denominador
, que cresce como
. Portanto,
se comporta como
.
Vamos calcular o limite:
O limite é zero, então novamente o teste do limite não é suficiente. Observando que
se comporta como
e a série
diverge (série p com
), concluímos que a série 4 diverge.
Resposta
-
Diverge
-
Diverge
-
Converge
-
Diverge
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 5 até 12, determine a solução geral da equação diferencial proposta.
8)
8)
Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de
e
indicadas.
Use a técnica de separação de variáveis escrevendo
. Obtenha as soluções das duas EDOs resultantes. (note que uma delas é a equação de Euler conforme visto numa das listas de exercícios anteriores)
(20 pontos) Esboce e calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo
, da região delimitada pelas equaçōes
.