Use a técnica de separação de variáveis escrevendo
. Obtenha as soluções das duas EDOs resultantes. (note que uma delas é a equação de Euler conforme visto numa das listas de exercícios anteriores)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função
que depende de duas variáveis:
(raio) e
(ângulo). A técnica que vamos usar aqui se chama separação de variáveis, onde a gente assume que essa função pode ser escrita como o produto de duas funções menores: uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja, vamos escrever
. Para resolver esse tipo de problema, precisamos transformar a equação original em duas equações diferenciais ordinárias (EDOs), uma para
e outra para
.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na equação original. Embora a equação completa não tenha sido fornecida, geralmente ela é uma equação diferencial parcial (EDP) que relaciona as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos supor que estamos trabalhando com uma EDP como a equação de Laplace em coordenadas polares:
Substituindo
:
Como
depende só de
e
depende só de
, podemos separar as derivadas:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Multiplicando tudo por
:
A gente pode rearranjar isso como:
Note que o lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
. Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de
. Isso nos dá duas equações separadas:
- Para a parte radial (
):
- Para a parte angular (
):
Passo 4
Vamos começar resolvendo a equação para
:
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno do problema.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
:
Vamos simplificar isso. Primeiro, expandimos a derivada:
Multiplicando
:
Dividindo tudo por
:
Essa é a Equação de Euler (ou equação Cauchy-Euler), que tem soluções conhecidas.
Passo 6
Para resolver a Equação de Euler:
A gente assume uma solução do tipo
. Vamos substituir na equação:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando os termos dentro dos colchetes:
Isso nos dá a equação característica:
Aqui,
é a unidade imaginária. Portanto, as soluções são complexas e podemos escrever a solução real usando funções trigonométricas.
Passo 7
Como os valores de
são imaginários, a solução geral para
será uma combinação de senos e cossenos de
:
Onde
e
são constantes.
Resposta
As soluções das duas EDOs resultantes são:
e
Onde
,
,
e
são constantes determinadas pelas condições de contorno do problema.
Exercícios relacionados
Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
-
-
-
(4)
Em cada um dos Problemas 5 até 12, determine a solução geral da equação diferencial proposta.
8)
8)
(20 pontos) Esboce e calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo
, da região delimitada pelas equaçōes
.
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta: