Use a técnica de separação de variáveis escrevendo u(r, θ) = R(r) Θ(θ). Obtenha as soluções das duas EDOs resultantes. (note que uma delas é a equação de Euler conforme visto numa das listas de exercícios anteriores)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função u(r, θ) que depende de duas variáveis: r (raio) e theta (ângulo). A técnica que vamos usar aqui se chama separação de variáveis, onde a gente assume que essa função pode ser escrita como o produto de duas funções menores: uma que depende só de r e outra que depende só de theta. Ou seja, vamos escrever . Para resolver esse tipo de problema, precisamos transformar a equação original em duas equações diferenciais ordinárias (EDOs), uma para e outra para .

Passo 2

Primeiro, substituímos na equação original. Embora a equação completa não tenha sido fornecida, geralmente ela é uma equação diferencial parcial (EDP) que relaciona as derivadas parciais de u em relação a r e theta. Vamos supor que estamos trabalhando com uma EDP como a equação de Laplace em coordenadas polares:
Substituindo :
Como depende só de theta e R depende só de r, podemos separar as derivadas:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis r e theta. Multiplicando tudo por :
A gente pode rearranjar isso como:
Note que o lado esquerdo depende só de r e o lado direito só de theta. Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de r e theta, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de . Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para a parte radial ( ):
  1. Para a parte angular ( ):

Passo 4

Vamos começar resolvendo a equação para :
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
Onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno do problema.

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para :
Vamos simplificar isso. Primeiro, expandimos a derivada:
Multiplicando r:
Dividindo tudo por :
Essa é a Equação de Euler (ou equação Cauchy-Euler), que tem soluções conhecidas.

Passo 6

Para resolver a Equação de Euler:
A gente assume uma solução do tipo . Vamos substituir na equação:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando os termos dentro dos colchetes:
Isso nos dá a equação característica:
Aqui, i é a unidade imaginária. Portanto, as soluções são complexas e podemos escrever a solução real usando funções trigonométricas.

Passo 7

Como os valores de k são imaginários, a solução geral para será uma combinação de senos e cossenos de :
Onde C e D são constantes.

Resposta

As soluções das duas EDOs resultantes são:
e
Onde A, B, C e D são constantes determinadas pelas condições de contorno do problema.

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