Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^2(x+1)^2 d x Resposta: 263

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 0 a 2. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde aprendemos a encontrar áreas sob curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar expandir o polinômio, integrar termo a termo e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 . Isso facilita a integração, porque integraremos cada termo separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo da expressão expandida em relação a integral (x^2 + 2x + 1) , dx = integral x^2 , dx + integral 2x , dx + integral 1 , dx :

Passo 4

Vamos integrar cada termo individualmente:
integral x^2 , dx = x^33
integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2
integral 1 , dx = x
Então, a integral indefinida fica:
x^33 + x^2 + x + C
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui pois estamos calculando uma integral definida.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2 na função antiderivada que encontramos:
[ x^33 + x^2 + x ]0^2 = ( 2^33 + 2^2 + 2 ) - ( 0^33 + 0^2 + 0 )

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
2^33 = 83
2^2 = 4
2 = 2
Somando esses valores:
83 + 4 + 2 = 83 + 123 + 63 = 263

Resposta

A integral definida de de 0 a 2 é .

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