(20 pontos) Seja ( R^4, circ ) um grupo, onde:
(a, b, c, d) circ(x, y, z, w)=(a+x, b+y, c+z, d+w)
Verifique se A=(2 a, a,-a, 2 a) in R^4 mid a in R é subgrupo de (R^4, circ ).

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema! Temos o grupo (R^4, circ) onde a operação circ é a adição componente a componente. Queremos verificar se o conjunto A = (2a, a, -a, 2a) in R^4 mid a in R é um subgrupo desse grupo maior. Para isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subgrupo. Um subconjunto A de um grupo G é chamado de subgrupo se:
  1. A possui o elemento neutro: Existe um elemento em A que, quando operado com qualquer outro elemento de A, não altera esse outro elemento.
  2. A é fechado sob a operação do grupo: Se você pegar dois elementos quaisquer de A e operar entre eles, o resultado também deve estar em A.
  3. A é fechado sob inversos: Para todo elemento em A, seu inverso (em relação à operação do grupo) também está em A.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto A.

Passo 3

1. Verificando o elemento neutro:
No grupo (R^4, circ), o elemento neutro é o vetor (0, 0, 0, 0). Vamos ver se este vetor está em A.
Para isso, basta encontrar um valor de a que satisfaça:
(2a, a, -a, 2a) = (0, 0, 0, 0)
Resolvendo:
2a = 0 implies a = 0
Portanto, quando a = 0, obtemos (0, 0, 0, 0) in A. Logo, A contém o elemento neutro.

Passo 4

2. Verificando a fechadura sob a operação:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de A:
u = (2a, a, -a, 2a)
v = (2b, b, -b, 2b)
Onde a, b in R.
Operando u e v:
u circ v = (2a + 2b, a + b, -a - b, 2a + 2b) = (2(a + b), a + b, -(a + b), 2(a + b))
Note que o resultado é da forma (2c, c, -c, 2c) onde c = a + b. Como c in R, o vetor resultante está em A. Portanto, A é fechado sob a operação.

Passo 5

3. Verificando a fechadura sob inversos:
Vamos pegar um elemento qualquer de A:
u = (2a, a, -a, 2a)
Queremos encontrar seu inverso u^-1 tal que:
u circ u^-1 = (0, 0, 0, 0)
O inverso em grupos abelianos com operação de adição é simplesmente o negativo do vetor:
u^-1 = (-2a, -a, a, -2a)
Vamos verificar se u^-1 in A. Precisamos que exista um b in R tal que:
(-2a, -a, a, -2a) = (2b, b, -b, 2b)
Comparando componentes:
2b = -2a implies b = -a
b = -a
-b = a implies b = -a
2b = -2a implies b = -a
Tudo confere! Portanto, u^-1 = (2(-a), -a, -(-a), 2(-a)) in A. Assim, A é fechado sob inversos.

Resposta

Como o conjunto A contém o elemento neutro, é fechado sob a operação e sob a formação de inversos, concluímos que A = (2a, a, -a, 2a) in R^4 mid a in R é de fato um subgrupo de (R^4, circ).

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