Beleza, vamos analisar o problema! Temos o grupo onde a operação é a adição componente a componente. Queremos verificar se o conjunto é um subgrupo desse grupo maior. Para isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subgrupo. Um subconjunto de um grupo é chamado de subgrupo se:
A possui o elemento neutro: Existe um elemento em que, quando operado com qualquer outro elemento de , não altera esse outro elemento.
A é fechado sob a operação do grupo: Se você pegar dois elementos quaisquer de e operar entre eles, o resultado também deve estar em .
A é fechado sob inversos: Para todo elemento em , seu inverso (em relação à operação do grupo) também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando o elemento neutro:
No grupo , o elemento neutro é o vetor . Vamos ver se este vetor está em .
Para isso, basta encontrar um valor de que satisfaça:
Resolvendo:
Portanto, quando , obtemos . Logo, contém o elemento neutro.
Passo 4
2. Verificando a fechadura sob a operação:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de :
Onde .
Operando e :
Note que o resultado é da forma onde . Como , o vetor resultante está em . Portanto, é fechado sob a operação.
Passo 5
3. Verificando a fechadura sob inversos:
Vamos pegar um elemento qualquer de :
Queremos encontrar seu inverso tal que:
O inverso em grupos abelianos com operação de adição é simplesmente o negativo do vetor:
Vamos verificar se . Precisamos que exista um tal que:
Comparando componentes:
Tudo confere! Portanto, . Assim, é fechado sob inversos.
Resposta
Como o conjunto contém o elemento neutro, é fechado sob a operação e sob a formação de inversos, concluímos que é de fato um subgrupo de .