Dado o conjunto W=(1,1,3),(1,2,1),(0,1,3),(1,4,5) subset R^3, extrair um subconjunto de vetores L.I.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos o conjunto de vetores no espaço tridimensional . Nosso objetivo é extrair um subconjunto de vetores que sejam linearmente independentes (L.I.). Para isso, precisamos entender os conceitos de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, é importante saber o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são L.I. se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.

Passo 3

Vamos começar selecionando os três primeiros vetores do conjunto A = 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 3 & 1 & 3 : , e . Montamos a seguinte matriz com esses vetores como colunas:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (2 cdot 3 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 3 - 1 cdot 3) + 0 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 3) = 1 cdot (6 - 1) - 1 cdot (3 - 3) + 0 cdot (-5) = 5 - 0 + 0 = 5 :
Como , os vetores , e são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Se conseguir, isso significa que não é necessário para manter a independência linear.

Passo 6

Para isso, resolvemos o seguinte sistema de equações:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v4
Isso resulta em:
a + b + 0c = 1 a + 2b + c = 4 3a + b + 3c = 5
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: b + c = 3 -2b + 3c = 2 .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo na terceira equação: .
  4. Resolvendo o sistema , encontramos e .
  5. Portanto, .

Passo 7

Encontramos que:
v4 = -25v1 + 75v2 + 85v3
Isso mostra que pode ser escrito como uma combinação linear de , e . Portanto, para manter a independência linear, podemos excluir .

Resposta

Um subconjunto de vetores linearmente independentes é .

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