Dado o conjunto , extrair um subconjunto de vetores L.I.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos o conjunto de vetores no espaço tridimensional . Nosso objetivo é extrair um subconjunto de vetores que sejam linearmente independentes (L.I.). Para isso, precisamos entender os conceitos de combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, é importante saber o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são L.I. se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.
Passo 3
Vamos começar selecionando os três primeiros vetores do conjunto : , e . Montamos a seguinte matriz com esses vetores como colunas:
Como , os vetores , e são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Se conseguir, isso significa que não é necessário para manter a independência linear.
Passo 6
Para isso, resolvemos o seguinte sistema de equações:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v4
Isso resulta em:
a + b + 0c = 1 a + 2b + c = 4 3a + b + 3c = 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: b + c = 3 -2b + 3c = 2 .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo na terceira equação: .
Resolvendo o sistema , encontramos e .
Portanto, .
Passo 7
Encontramos que:
v4 = -25v1 + 75v2 + 85v3
Isso mostra que pode ser escrito como uma combinação linear de , e . Portanto, para manter a independência linear, podemos excluir .
Resposta
Um subconjunto de vetores linearmente independentes é .