Seja o espaço solução do sistema . Determine os valores de a para os quais S seja:
(a) a própria origem;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três variáveis (x, y, z) e queremos descobrir para quais valores de a única solução desse sistema é a origem, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1
Passo 3
Para que o sistema tenha apenas a solução trivial , a matriz precisa ser invertível. E para uma matriz ser invertível, o determinante dela deve ser diferente de zero.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (a cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - a cdot 1) + a cdot (1 cdot 1 - a cdot a) :
det(A) = (a - 1) - (1 - a) + a(1 - a^2)
Simplificando:
= a - 1 - 1 + a + a - a^3
= 3a - 2 - a^3
Passo 5
Queremos que esse determinante seja diferente de zero:
3a - 2 - a^3 neq 0
-a^3 + 3a - 2 neq 0
a^3 - 3a + 2 neq 0
Passo 6
Vamos resolver a equação 1^3 - 3(1) + 2 = 0 :
Testando valores simples, vemos que a^3 - 3a + 2 = (a - 1)(a^2 + a - 2) é uma solução:
= (a - 1)(a + 2)(a - 1) = (a - 1)^2(a + 2)
Então, podemos fatorar:
Passo 7
As soluções são e . Isso significa que quando ou , o determinante é zero e a matriz não é invertível.
Passo 8
Portanto, para que seja apenas a origem, não pode ser nem 1 nem -2.
Resposta
Os valores de que fazem com que seja apenas a origem são todos os reais, exceto e .