Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral tripla de sobre a região no espaço 3D. A região é definida por duas condições:
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para integrar funções com simetria radial como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integranda 1rho^2 em coordenadas esféricas. Sabemos que integral tripla 1rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral tripla sinphi , drho , dphi , dtheta , então a integranda fica:
Multiplicando pela expressão do volume, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para 2rho cosphi <= rho^2 implies 2cosphi <= rho , rho >= 2cosphi e rho cosphi >= raizrho^2 sin^2phi3 implies rho cosphi >= rho sinphiraiz3 implies cosphi >= sinphiraiz3 com base nas condições que definem a região 1 >= tanphiraiz3 implies tanphi <= raiz3 implies phi <= pi3 .
Primeiro, a condição se transforma em , ou seja, .
A outra condição se transforma em:
Como , isso nos dá um limite inferior para em termos de :
A primeira condição se transforma em:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Passo 5
Vamos agora resumir os limites de integração:
integral0^2pi integral0^pi3 integral2cosphi^3 sinphi , drho , dphi , dtheta varia de a , já que a região é simétrica em torno do eixo .
varia de a , conforme determinamos.
varia de a , conforme as condições da região.
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a integral2cosphi^3 sinphi , drho = sinphi cdot (rho) |2cosphi^3 = sinphi cdot (3 - 2cosphi) primeiro: