integral tripla 1x^2+y^2+z^2 d V
Calcule E
onde
E=(x, y, z) in R^3: z >= raizx^2+y^23, 2 z <= x^2+y^2+z^2 <= 9.
Escolha uma opção:
pi2
raiz3 pi2
3 pi2
pi
32 pi15

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral tripla de sobre a região no espaço 3D. A região é definida por duas condições:
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para integrar funções com simetria radial como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integranda 1rho^2 em coordenadas esféricas. Sabemos que integral tripla 1rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral tripla sinphi , drho , dphi , dtheta , então a integranda fica:
Multiplicando pela expressão do volume, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para 2rho cosphi <= rho^2 implies 2cosphi <= rho , rho >= 2cosphi e rho cosphi >= raizrho^2 sin^2phi3 implies rho cosphi >= rho sinphiraiz3 implies cosphi >= sinphiraiz3 com base nas condições que definem a região 1 >= tanphiraiz3 implies tanphi <= raiz3 implies phi <= pi3 .
Primeiro, a condição se transforma em , ou seja, .
A outra condição se transforma em:
Como , isso nos dá um limite inferior para em termos de :
A primeira condição se transforma em:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 5

Vamos agora resumir os limites de integração:
  • integral0^2pi integral0^pi3 integral2cosphi^3 sinphi , drho , dphi , dtheta varia de a , já que a região é simétrica em torno do eixo .
  • varia de a , conforme determinamos.
  • varia de a , conforme as condições da região.
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a integral2cosphi^3 sinphi , drho = sinphi cdot (rho) |2cosphi^3 = sinphi cdot (3 - 2cosphi) primeiro:
integral0^2pi integral0^pi3 sinphi (3 - 2cosphi) , dphi , dtheta
Então, a integral se reduz a:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^2pi [ integral0^pi3 3sinphi , dphi - integral0^pi3 2sinphi cosphi , dphi ] dtheta
Primeiro, resolvemos -3cosphi |0^pi3 = -3cos(pi3) + 3cos(0) = -3 cdot 12 + 3 cdot 1 = -32 + 3 = 32 :
integral sin(2phi) , dphi = -12cos(2phi) |0^pi3 = -12[cos(2pi3) - cos(0)] = -12[-12 - 1] = -12 cdot (-32) = 34
Agora, resolvemos . Podemos usar a identidade :

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
integral0^2pi ( 32 - 34 ) dtheta = integral0^2pi 34 , dtheta = 34 cdot 2pi = 32pi

Resposta

A integral vale .

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