(2/2004) Os alelos A, B e O determinam os tipos sanquineos A(A A) ou A O), B ( B B ou B O), O O O e A B (A B). Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z são as proporções dos alelos A, B e O em uma determinada população, então a proporção P de indivíduos da população que possuem dois alelos distintos é dada por P = 2(xy + xz + yz). Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como funções z = z(x, y) e P = P(x, y) das variáveis x e y.
a) Obtenha o domínio D da função P.
b) Calcule os pontos críticos de P interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função P sobre a fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos A, B e O que maximizam a proporção P de indivíduos com dois alelos distintos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre os tipos sanguíneos determinados pelos alelos A, B e O. A gente vai usar a Lei de Hardy-Weinberg, que ajuda a entender como esses alelos se distribuem numa população. Precisamos analisar a função , onde x, y e z são as proporções dos alelos A, B e O, respectivamente, e . Nosso objetivo é:
a) Encontrar o domínio da função P.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função P(x, y). O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x e y que fazem a função valer.
Sabemos que x, y e z são proporções, então cada um deve estar entre 0 e 1:
E também que:
Como queremos expressar z em função de x e y, temos:
Para que z seja uma proporção válida, precisamos que:
Além disso, x e y também devem ser não negativos:

Passo 3

Então, resumindo, as condições que x e y devem satisfazer são:
  1. x >= 0
  2. y ≥ 0
Isso forma um triângulo no plano xy, onde todas as combinações de x e y dentro desse triângulo são válidas.

Passo 4

Portanto, o domínio D da função P é o conjunto de todos os pares (x, y) que satisfazem:

Resposta

O domínio D da função P é:

Exercícios relacionados

Localize e classifique os pontos críticos das seguintes funções:
a) f(x, y) = x^2 + y^2
b) f(x, y) = raiz(x^2 + y^2)
c) f(x, y) = x * y
d) f(x, y) = 2*x^3 + y^3 - 3*x^2 - 3*y
Calcule o volume do conjunto dado $\left{(x, y<usize
7g
Calcule o volume do conjunto dado e (x, y < 7) Calcule o volume do conjunto dado.
Em cada um dos itens abaixo, determine
lll I) nabla f(x, y) ou nabla f(x, y, z) & II) nabla f(P) & III) Du f(P)
a) f(x, y)=5 x y^2-4 x^3 y, P=(1,2), u : vetor unitário na direção de v=(5,12).
b) f(x, y)=y ln x, P=(1,-3), u : vetor unitário na direção de v=(-4,3).
c) f(x, y, z)=x e^y sen z, P=(1,0, pi / 2), u : vetor unitário na direção de v=(1,1,1).
d) f(x, y, z)=x y+y z+x z, P=(1,-1,3), u : vetor unitário na direção de v=(-8,0,15).
(2/2018) Considere que T(x, y) = sen(x) + x^2018 * y + 3 * x + y^3 representa uma distribuição de temperatura no plano e seja P = (0, 1). Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções (isto é, determine D_u f(P) )?