(2/2004) Os alelos
e
determinam os tipos sanquineos
ou
(
ou
e
. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se
e
são as proporções dos alelos
e
em uma determinada população, então a proporção
de indivíduos da população que possuem dois alelos distintos é dada por
. Observe que, como
, tanto
como
podem ser expressos como funções
e
das variáveis
e
.
a) Obtenha o domínio
da função
.
b) Calcule os pontos críticos de
interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função
sobre a fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos
e
que maximizam a proporção
de indivíduos com dois alelos distintos.
a) Obtenha o domínio
b) Calcule os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre os tipos sanguíneos determinados pelos alelos
,
e
. A gente vai usar a Lei de Hardy-Weinberg, que ajuda a entender como esses alelos se distribuem numa população. Precisamos analisar a função
, onde
,
e
são as proporções dos alelos
,
e
, respectivamente, e
. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o domínio da função .
a) Encontrar o domínio da função
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de
e
que fazem a função valer.
Sabemos que
,
e
são proporções, então cada um deve estar entre 0 e 1:
E também que:
Como queremos expressar
em função de
e
, temos:
Para que
seja uma proporção válida, precisamos que:
Além disso,
e
também devem ser não negativos:
Passo 3
Então, resumindo, as condições que
e
devem satisfazer são:
Isso forma um triângulo no plano
, onde todas as combinações de
e
dentro desse triângulo são válidas.
Passo 4
Portanto, o domínio
da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem:
Resposta
O domínio
da função
é: