(2/2004) Os alelos A, B e O determinam os tipos sanquineos A(A A) ou A O), B ( B B ou B O), O O O e A B (A B). Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z são as proporções dos alelos A, B e O em uma determinada população, então a proporção P de indivíduos da população que possuem dois alelos distintos é dada por P = 2(xy + xz + yz). Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como funções z = z(x, y) e P = P(x, y) das variáveis x e y.
a) Obtenha o domínio D da função P.
b) Calcule os pontos críticos de P interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função P sobre a fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos A, B e O que maximizam a proporção P de indivíduos com dois alelos distintos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre os tipos sanguíneos determinados pelos alelos A, B e O. A gente vai usar a Lei de Hardy-Weinberg, que ajuda a entender como esses alelos se distribuem numa população. Precisamos analisar a função , onde x, y e z são as proporções dos alelos A, B e O, respectivamente, e . Nosso objetivo é:
a) Encontrar o domínio da função P.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função P(x, y). O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x e y que fazem a função valer.
Sabemos que x, y e z são proporções, então cada um deve estar entre 0 e 1:
E também que:
Como queremos expressar z em função de x e y, temos:
Para que z seja uma proporção válida, precisamos que:
Além disso, x e y também devem ser não negativos:

Passo 3

Então, resumindo, as condições que x e y devem satisfazer são:
  1. x >= 0
  2. y ≥ 0
Isso forma um triângulo no plano xy, onde todas as combinações de x e y dentro desse triângulo são válidas.

Passo 4

Portanto, o domínio D da função P é o conjunto de todos os pares (x, y) que satisfazem:

Resposta

O domínio D da função P é:

Exercícios relacionados