Calcule o volume do conjunto dado $\left{(x, y<usize
7g
Calcule o volume do conjunto dado e (x, y < 7) Calcule o volume do conjunto dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um conjunto de pontos no espaço tridimensional que satisfazem certas condições. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas para encontrar volumes. Para resolver isso, vamos precisar configurar e calcular uma integral tripla que representa o volume desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o conjunto:
  • : Isso nos dá os limites para a coordenada em termos de e .
  • e : Isso significa que estamos trabalhando no primeiro octante, onde e são não negativos.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla na ordem . Isso significa que primeiro integraremos em relação a , depois em relação a , e finalmente em relação a .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  1. Para , já temos os limites: de até .
  2. Para , precisamos encontrar os limites em termos de .
  3. Para , como e não há um limite superior explícito, vamos determinar onde as duas superfícies e se intersectam para encontrar os possíveis limites para e .

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para para encontrar a interseção:
Resolvendo para :
Isso nos dá a relação entre e na interseção.

Passo 6

Agora, vamos configurar os limites para e :
  • varia de 0 até 1 (pois e ).
  • Para cada , varia de 0 até .

Passo 7

Com tudo isso, podemos escrever a integral tripla para o volume :

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a :
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do conjunto dado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados