Calcule o volume do conjunto dado $\left{(x, y<usize
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Calcule o volume do conjunto dado e
.
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Calcule o volume do conjunto dado e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um conjunto de pontos no espaço tridimensional que satisfazem certas condições. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas para encontrar volumes. Para resolver isso, vamos precisar configurar e calcular uma integral tripla que representa o volume desse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o conjunto:
-
: Isso nos dá os limites para a coordenada em termos de e . -
e : Isso significa que estamos trabalhando no primeiro octante, onde e são não negativos.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla na ordem
. Isso significa que primeiro integraremos em relação a
, depois em relação a
, e finalmente em relação a
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
- Para
, já temos os limites: de até . - Para
, precisamos encontrar os limites em termos de . - Para
, como e não há um limite superior explícito, vamos determinar onde as duas superfícies e se intersectam para encontrar os possíveis limites para e .
Passo 5
Vamos igualar as duas expressões para
para encontrar a interseção:
Resolvendo para
:
Isso nos dá a relação entre
e
na interseção.
Passo 6
Agora, vamos configurar os limites para
e
:
-
varia de 0 até 1 (pois e ). - Para cada
, varia de 0 até .
Passo 7
Com tudo isso, podemos escrever a integral tripla para o volume
:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Então, a integral simplifica para:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do conjunto dado é
unidades cúbicas.