(2/2018) Considere que T(x, y) = sen(x) + x^2018 * y + 3 * x + y^3 representa uma distribuição de temperatura no plano e seja P = (0, 1). Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções (isto é, determine D_u f(P) )?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma distribuição de temperatura no plano, representada pela função . Nosso objetivo é descobrir em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente e onde ela aumenta menos, além de calcular a taxa de crescimento nessas direções. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções de e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente no ponto :

Passo 5

O gradiente nos dá a direção de maior crescimento da temperatura. Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente:
A direção de menor crescimento é exatamente o oposto da direção do gradiente:

Passo 6

Para encontrar a taxa de crescimento nessas direções, usamos a derivada direcional , que é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Para a direção de maior crescimento:
Para a direção de menor crescimento:

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura em é na direção do vetor com uma taxa de crescimento de . A direção de menor crescimento é na direção oposta, , com uma taxa de crescimento de .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, determine
lll I) nabla f(x, y) ou nabla f(x, y, z) & II) nabla f(P) & III) Du f(P)
a) f(x, y)=5 x y^2-4 x^3 y, P=(1,2), u : vetor unitário na direção de v=(5,12).
b) f(x, y)=y ln x, P=(1,-3), u : vetor unitário na direção de v=(-4,3).
c) f(x, y, z)=x e^y sen z, P=(1,0, pi / 2), u : vetor unitário na direção de v=(1,1,1).
d) f(x, y, z)=x y+y z+x z, P=(1,-1,3), u : vetor unitário na direção de v=(-8,0,15).
(2/2004) Os alelos A, B e O determinam os tipos sanquineos A(A A) ou A O), B ( B B ou B O), O O O e A B (A B). Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z são as proporções dos alelos A, B e O em uma determinada população, então a proporção P de indivíduos da população que possuem dois alelos distintos é dada por P = 2(xy + xz + yz). Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como funções z = z(x, y) e P = P(x, y) das variáveis x e y.
a) Obtenha o domínio D da função P.
b) Calcule os pontos críticos de P interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função P sobre a fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos A, B e O que maximizam a proporção P de indivíduos com dois alelos distintos.
Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais e os valores máximo e mínimo globais das seguintes funções nos domínios indicados:
a) f(x, y) = 2 + 2 x + 2 y - x^2 - y^2, com D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0} e x + y <= 3.
b) f(x, y) = 3x^2 - 2xy + 3y^2 + 2y + 5, com D = {(x, y) em R^2 : x^2 + y^2 <= 1}.
(2/2018) Considere que T(x, y) = 4 + 2x + 3y - x^2 - y^3 represente a distribuição de temperatura no plano e seja D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ x} e x + y <= 4. Determine os pontos de D em que a temperatura é máxima e os pontos de D em que a temperatura é mínima. Determine, também, as temperaturas máxima e mínima em D.