(2/2018) Considere que
representa uma distribuição de temperatura no plano e seja
. Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções (isto é, determine
)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma distribuição de temperatura no plano, representada pela função
. Nosso objetivo é descobrir em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente e onde ela aumenta menos, além de calcular a taxa de crescimento nessas direções. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções de
e
.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente
no ponto
:
Passo 5
O gradiente
nos dá a direção de maior crescimento da temperatura. Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente:
A direção de menor crescimento é exatamente o oposto da direção do gradiente:
Passo 6
Para encontrar a taxa de crescimento nessas direções, usamos a derivada direcional
, que é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Para a direção de maior crescimento:
Para a direção de menor crescimento:
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura em
é na direção do vetor
com uma taxa de crescimento de
. A direção de menor crescimento é na direção oposta,
, com uma taxa de crescimento de
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, determine
a)
,
: vetor unitário na direção de
.
b) ,
: vetor unitário na direção de
.
c) ,
: vetor unitário na direção de
.
d) ,
: vetor unitário na direção de
.
b)
c)
d)
(2/2004) Os alelos
e
determinam os tipos sanquineos
ou
(
ou
e
. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se
e
são as proporções dos alelos
e
em uma determinada população, então a proporção
de indivíduos da população que possuem dois alelos distintos é dada por
. Observe que, como
, tanto
como
podem ser expressos como funções
e
das variáveis
e
.
a) Obtenha o domínio da função
.
b) Calcule os pontos críticos de interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função sobre a fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos e
que maximizam a proporção
de indivíduos com dois alelos distintos.
a) Obtenha o domínio
b) Calcule os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos
Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais e os valores máximo e mínimo globais das seguintes funções nos domínios indicados:
a) , com
e
.
b) , com
.
a)
b)
(2/2018) Considere que
represente a distribuição de temperatura no plano e seja
e
. Determine os pontos de
em que a temperatura é máxima e os pontos de
em que a temperatura é mínima. Determine, também, as temperaturas máxima e mínima em
.