(2/2018) Considere que T(x, y) = sen(x) + x^2018 * y + 3 * x + y^3 representa uma distribuição de temperatura no plano e seja P = (0, 1). Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções (isto é, determine D_u f(P) )?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma distribuição de temperatura no plano, representada pela função . Nosso objetivo é descobrir em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente e onde ela aumenta menos, além de calcular a taxa de crescimento nessas direções. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções de e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente no ponto :

Passo 5

O gradiente nos dá a direção de maior crescimento da temperatura. Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente:
A direção de menor crescimento é exatamente o oposto da direção do gradiente:

Passo 6

Para encontrar a taxa de crescimento nessas direções, usamos a derivada direcional , que é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Para a direção de maior crescimento:
Para a direção de menor crescimento:

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura em é na direção do vetor com uma taxa de crescimento de . A direção de menor crescimento é na direção oposta, , com uma taxa de crescimento de .

Exercícios relacionados