(2/2018) Considere que
representa uma distribuição de temperatura no plano e seja
. Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções (isto é, determine
)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma distribuição de temperatura no plano, representada pela função
. Nosso objetivo é descobrir em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente e onde ela aumenta menos, além de calcular a taxa de crescimento nessas direções. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções de
e
.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente
no ponto
:
Passo 5
O gradiente
nos dá a direção de maior crescimento da temperatura. Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente:
A direção de menor crescimento é exatamente o oposto da direção do gradiente:
Passo 6
Para encontrar a taxa de crescimento nessas direções, usamos a derivada direcional
, que é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Para a direção de maior crescimento:
Para a direção de menor crescimento:
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura em
é na direção do vetor
com uma taxa de crescimento de
. A direção de menor crescimento é na direção oposta,
, com uma taxa de crescimento de
.