Localize e classifique os pontos críticos das seguintes funções:
a) f(x, y) = x^2 + y^2
b) f(x, y) = raiz(x^2 + y^2)
c) f(x, y) = x * y
d) f(x, y) = 2*x^3 + y^3 - 3*x^2 - 3*y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de localizar e classificar os pontos críticos de quatro funções diferentes. A matéria aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o estudo de derivadas parciais e pontos críticos. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada função em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (esses são os pontos críticos) e então classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é .
Para classificar, usamos a segunda derivada:
O discriminante é:
Como e , o ponto é um mínimo relativo.

Passo 3

Agora, para a segunda função:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Igualando as derivadas a zero:
Portanto, o ponto crítico é .
Para classificar, usamos as segundas derivadas, mas nessa função, a segunda derivada no ponto não está definida porque a derivada não é diferenciável nesse ponto. Portanto, não podemos classificar o ponto crítico.

Passo 4

Vamos para a terceira função:
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Então, o único ponto crítico é .
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é:
Como , o ponto é um ponto de sela.

Passo 5

Por último, analisamos a quarta função:
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Encontramos assim os seguintes pontos críticos: , , e .
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é:
Analisando cada ponto:
  1. Ponto :
  1. Ponto :
á
  1. Ponto :
í
  1. Ponto :

Resposta

a) é um mínimo relativo.
b) é um ponto crítico não classificável.
c) é um ponto de sela.
d)
  • é um ponto de sela.
  • é um máximo relativo.
  • é um mínimo relativo.
  • é um ponto de sela.

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b) f(x, y)=y ln x, P=(1,-3), u : vetor unitário na direção de v=(-4,3).
c) f(x, y, z)=x e^y sen z, P=(1,0, pi / 2), u : vetor unitário na direção de v=(1,1,1).
d) f(x, y, z)=x y+y z+x z, P=(1,-1,3), u : vetor unitário na direção de v=(-8,0,15).