Localize e classifique os pontos críticos das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de localizar e classificar os pontos críticos de quatro funções diferentes. A matéria aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o estudo de derivadas parciais e pontos críticos. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada função em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (esses são os pontos críticos) e então classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é
.
Para classificar, usamos a segunda derivada:
O discriminante
é:
Como
e
, o ponto é um mínimo relativo.
Passo 3
Agora, para a segunda função:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Igualando as derivadas a zero:
Portanto, o ponto crítico é
.
Para classificar, usamos as segundas derivadas, mas nessa função, a segunda derivada no ponto
não está definida porque a derivada não é diferenciável nesse ponto. Portanto, não podemos classificar o ponto crítico.
Passo 4
Vamos para a terceira função:
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é:
Como
, o ponto é um ponto de sela.
Passo 5
Por último, analisamos a quarta função:
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Encontramos assim os seguintes pontos críticos:
,
,
e
.
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é:
Analisando cada ponto:
- Ponto
:
- Ponto
:
- Ponto
:
- Ponto
:
Resposta
a)
é um mínimo relativo.
b)
é um ponto crítico não classificável.
c)
é um ponto de sela.
d)
-
é um ponto de sela. -
é um máximo relativo. -
é um mínimo relativo. -
é um ponto de sela.