Em cada um dos itens abaixo, determine
a)
,
: vetor unitário na direção de
.
b)
,
: vetor unitário na direção de
.
c)
,
: vetor unitário na direção de
.
d)
,
: vetor unitário na direção de
.
b)
c)
d)
Passo 1
Neste exercício, vamos determinar o gradiente da função
, o gradiente avaliado no ponto
, e a derivada direcional na direção de um vetor unitário
na direção de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais, gradiente e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente geral da função
. O gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Assim, o gradiente da função é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 7
Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário
na direção de
. Para isso, normalizamos
:
Calculando a norma de
:
Portanto,
Passo 8
Finalmente, a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário
:
Calculando: