Em cada um dos itens abaixo, determine
lll I) nabla f(x, y) ou nabla f(x, y, z) & II) nabla f(P) & III) Du f(P)
a) f(x, y)=5 x y^2-4 x^3 y, P=(1,2), u : vetor unitário na direção de v=(5,12).
b) f(x, y)=y ln x, P=(1,-3), u : vetor unitário na direção de v=(-4,3).
c) f(x, y, z)=x e^y sen z, P=(1,0, pi / 2), u : vetor unitário na direção de v=(1,1,1).
d) f(x, y, z)=x y+y z+x z, P=(1,-1,3), u : vetor unitário na direção de v=(-8,0,15).

Passo 1

Neste exercício, vamos determinar o gradiente da função , o gradiente avaliado no ponto , e a derivada direcional na direção de um vetor unitário na direção de . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais, gradiente e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente geral da função nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial fpartial x = 5y^2 - 12x^2y em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de partial fpartial y = 10xy - 4x^3 em relação a :

Passo 5

Assim, o gradiente da função é:
nabla f(x, y) = ( 5y^2 - 12x^2y, 10xy - 4x^3 )

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(1, 2) = ( 5(2)^2 - 12(1)^2(2), 10(1)(2) - 4(1)^3 ) = ( 20 - 24, 20 - 4 ) = ( -4, 16 ) :

Passo 7

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário u = v||v|| na direção de ||v|| = raiz5^2 + 12^2 = raiz25 + 144 = raiz169 = 13 . Para isso, normalizamos u = ( 513, 1213 ) :
Calculando a norma de :
Portanto,

Passo 8

Finalmente, a derivada direcional de Du f(P) = nabla f(P) cdot u no ponto Du f(1, 2) = (-4, 16) cdot ( 513, 1213 ) = (-4 times 5) + (16 times 12)13 = -20 + 19213 = 17213 approx 13,23 na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :
Calculando:

Resposta

I) nabla f(x, y) &= ( 5y^2 - 12x^2y, 10xy - 4x^3 ) II) nabla f(1, 2) &= (-4, 16) III) Du f(1, 2) &= 17213 approx 13,23

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