Inverta a ordem de integração
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais duplas e a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração e como reescrever os limites de forma invertida.
Passo 2
Vamos visualizar a região de integração. A integral externa varia
de -1 a 1. Para cada valor de
, a integral interna varia
de
a
.
Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem, porque a equação
é derivada da equação do círculo
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de
primeiro e depois de
.
Observando o círculo,
varia de -1 a 1. Para cada valor de
,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, substituímos os limites invertidos na integral dupla. Assim, a ordem de integração passa a ser primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Resposta
A ordem de integração invertida da integral dada é:
Exercícios relacionados
Calcule o volume do conjunto dado
.
(1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica e com três lados retos. Observe que a área
da seção transversal é uma função
das medidas
e
indicadas na figura, e o domínio dessa função é o conjunto
. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de
e
que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função .
b) Esboce e descreva a fronteira de .
a) Obtenha a expressão da função
b) Esboce e descreva a fronteira de
c) Determine o valor máximo de
sobre a fronteira de
.
d) Calcule os pontos críticos de que são interiores a
.
e) Determine os valores de e
que maximizam a área da seção. transversal.
d) Calcule os pontos críticos de
e) Determine os valores de
Inverta a ordem de integração
.
Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.