(2016-2) lim x 0 ln (1+3 x) 4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Precisaremos lembrar das propriedades dos logaritmos e das regras de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo:
limx to 0 4x cdot ln(1 + 3x)

Passo 3

Sabemos que quando ln(1 + 3x) approx 3x está perto de 0, pode ser aproximado por quando é pequeno. Neste caso, . Então podemos aproximar:

Passo 4

Vamos substituir essa aproximação na expressão do limite:
limx to 0 4x cdot 3x = limx to 0 12x^2

Passo 5

Agora, calculamos o limite de limx to 0 12x^2 = 12 cdot 0^2 = 0 quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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