Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais e os valores máximo e mínimo globais das seguintes funções nos domínios indicados:
a)
, com
e
.
b)
, com
.
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais e seus respectivos valores para as funções dadas nos domínios especificados. O conteúdo envolvido aqui é de otimização de funções de duas variáveis, onde vamos utilizar cálculo diferencial para encontrar os pontos críticos e também analisar as bordas do domínio para garantir que encontramos os valores máximos e mínimos globais.
Passo 2
Começamos com a parte a) do exercício:
com o domínio:
Precisamos encontrar os pontos no domínio D onde a função atinge seus valores máximos e mínimos globais.
Passo 3
Primeiro, encontraremos os pontos críticos da função dentro do domínio D. Para isso, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y e igualamos a zero.
Calculemos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Portanto, temos um ponto crítico em (1, 1).
Passo 4
Agora, verificamos se esse ponto crítico está dentro do domínio D:
Como todas as condições são satisfeitas, o ponto (1, 1) está dentro de D.
Passo 5
Calculamos o valor da função nesse ponto:
Então, temos um ponto crítico com valor 4.
Passo 6
Agora, precisamos analisar os valores da função nas bordas do domínio D para encontrar possíveis máximos e mínimos globais.
As bordas de D são:
-
, com -
, com -
, com ,
Passo 7
Vamos analisar cada borda:
-
Borda
:
A função reduz para:Para encontrar os extremos, calculamos a derivada em relação a y:Então, temos um ponto em (0, 1): -
Borda
:
A função reduz para:Calculamos a derivada em relação a x:Então, temos um ponto em (1, 0): -
Borda
:
Resolvemos para um variável, por exemplo,.
Substituindo na função:Simplificando:Calculamos a derivada:Então, o ponto é (1.5, 1.5):
Passo 8
Além dos pontos críticos internos e nos pontos encontrados nas bordas, também verificamos os cantos do domínio D:
- (0,0):
- (0,3):
- (3,0):
Passo 9
Agora, compilamos todos os valores encontrados:
- Ponto interno (1,1): 4
- Bordas:
- (0,1): 3
- (1,0): 3
- (1.5,1.5): 5.5
- Cantos:
- (0,0): 2
- (0,3): -1
- (3,0): -1
Passo 10
Analisando os valores, o valor máximo global é 5.5 no ponto (1.5, 1.5) e o valor mínimo global é -1 nos pontos (0,3) e (3,0).
Passo 11
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
com o domínio:
Precisamos encontrar os pontos no disco de raio 1 onde a função atinge seus valores máximos e mínimos globais.
Passo 12
Primeiro, encontramos os pontos críticos da função dentro do domínio D. Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y e igualamos a zero.
Derivadas parciais:
Igualando a zero:
Substituindo em (1):
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 13
Verificamos se esse ponto está dentro do domínio D:
Portanto, o ponto está dentro do domínio.
Passo 14
Calculamos o valor da função nesse ponto:
Simplificando:
Passo 15
Agora, analisamos os valores da função na fronteira do domínio D, que é o círculo
.
Para isso, usamos a parametrização polar:
onde
.
Substituindo na função:
Simplificando:
Passo 16
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Isso pode ser resolvido numericamente ou usando métodos de substituição trigonométrica, mas para simplificação, vamos verificar os valores nos pontos críticos.
Passo 17
Analisamos pontos especiais:
-
: -
: -
: -
:
Passo 18
Além dos pontos especiais, identificamos que o valor na fronteira varia entre 6 e 10. Comparando com o ponto interno que tem valor 4.625, vemos que o máximo global ocorre na fronteira.
Passo 19
Compilando todos os valores:
- Ponto interno
: 4.625 - Bordas:
- (1,0): 8
- (0,1): 10
- (-1,0): 8
- (0,-1): 6
Passo 20
Concluímos que o valor máximo global é 10 no ponto (0,1) e o valor mínimo global é 4.625 no ponto
.
Resposta
b) A função
atinge seu máximo global de 10 no ponto (0,1) e seu mínimo global de 4.625 no ponto
.
Exercícios relacionados
(2/2018) Considere que
representa uma distribuição de temperatura no plano e seja
. Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções (isto é, determine
)?
Em cada um dos itens abaixo, determine
a)
,
: vetor unitário na direção de
.
b) ,
: vetor unitário na direção de
.
c) ,
: vetor unitário na direção de
.
d) ,
: vetor unitário na direção de
.
b)
c)
d)
(2/2018) Considere que
represente a distribuição de temperatura no plano e seja
e
. Determine os pontos de
em que a temperatura é máxima e os pontos de
em que a temperatura é mínima. Determine, também, as temperaturas máxima e mínima em
.
Determine os pontos da esfera
que estão mais afastados do ponto
e que estão mais próximos. Quais são as distâncias?