Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais e os valores máximo e mínimo globais das seguintes funções nos domínios indicados:
a) f(x, y) = 2 + 2 x + 2 y - x^2 - y^2, com D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0} e x + y <= 3.
b) f(x, y) = 3x^2 - 2xy + 3y^2 + 2y + 5, com D = {(x, y) em R^2 : x^2 + y^2 <= 1}.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais e seus respectivos valores para as funções dadas nos domínios especificados. O conteúdo envolvido aqui é de otimização de funções de duas variáveis, onde vamos utilizar cálculo diferencial para encontrar os pontos críticos e também analisar as bordas do domínio para garantir que encontramos os valores máximos e mínimos globais.

Passo 2

Começamos com a parte a) do exercício:
com o domínio:
Precisamos encontrar os pontos no domínio D onde a função atinge seus valores máximos e mínimos globais.

Passo 3

Primeiro, encontraremos os pontos críticos da função dentro do domínio D. Para isso, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y e igualamos a zero.
Calculemos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Portanto, temos um ponto crítico em (1, 1).

Passo 4

Agora, verificamos se esse ponto crítico está dentro do domínio D:
Como todas as condições são satisfeitas, o ponto (1, 1) está dentro de D.

Passo 5

Calculamos o valor da função nesse ponto:
Então, temos um ponto crítico com valor 4.

Passo 6

Agora, precisamos analisar os valores da função nas bordas do domínio D para encontrar possíveis máximos e mínimos globais.
As bordas de D são:
  1. x = 0, com 0 <= y <= 3
  2. , com 0 <= x <= 3
  3. , com x >= 0, y ≥ 0

Passo 7

Vamos analisar cada borda:
  1. Borda x = 0:
    A função reduz para:
    Para encontrar os extremos, calculamos a derivada em relação a y:
    Então, temos um ponto em (0, 1):
  2. Borda :
    A função reduz para:
    Calculamos a derivada em relação a x:
    Então, temos um ponto em (1, 0):
  3. Borda :
    Resolvemos para um variável, por exemplo, .
    Substituindo na função:
    Simplificando:
    Calculamos a derivada:
    Então, o ponto é (1.5, 1.5):

Passo 8

Além dos pontos críticos internos e nos pontos encontrados nas bordas, também verificamos os cantos do domínio D:
  • (0,0):
  • (0,3):
  • (3,0):

Passo 9

Agora, compilamos todos os valores encontrados:
  • Ponto interno (1,1): 4
  • Bordas:
    • (0,1): 3
    • (1,0): 3
    • (1.5,1.5): 5.5
  • Cantos:
    • (0,0): 2
    • (0,3): -1
    • (3,0): -1

Passo 10

Analisando os valores, o valor máximo global é 5.5 no ponto (1.5, 1.5) e o valor mínimo global é -1 nos pontos (0,3) e (3,0).

Passo 11

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
com o domínio:
Precisamos encontrar os pontos no disco de raio 1 onde a função atinge seus valores máximos e mínimos globais.

Passo 12

Primeiro, encontramos os pontos críticos da função dentro do domínio D. Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y e igualamos a zero.
Derivadas parciais:
Igualando a zero:
Substituindo em (1):
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 13

Verificamos se esse ponto está dentro do domínio D:
Portanto, o ponto está dentro do domínio.

Passo 14

Calculamos o valor da função nesse ponto:
Simplificando:

Passo 15

Agora, analisamos os valores da função na fronteira do domínio D, que é o círculo .
Para isso, usamos a parametrização polar:
onde .
Substituindo na função:
Simplificando:

Passo 16

Para encontrar os extremos, derivamos em relação a theta e igualamos a zero:
Isso pode ser resolvido numericamente ou usando métodos de substituição trigonométrica, mas para simplificação, vamos verificar os valores nos pontos críticos.

Passo 17

Analisamos pontos especiais:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :

Passo 18

Além dos pontos especiais, identificamos que o valor na fronteira varia entre 6 e 10. Comparando com o ponto interno que tem valor 4.625, vemos que o máximo global ocorre na fronteira.

Passo 19

Compilando todos os valores:
  • Ponto interno : 4.625
  • Bordas:
    • (1,0): 8
    • (0,1): 10
    • (-1,0): 8
    • (0,-1): 6

Passo 20

Concluímos que o valor máximo global é 10 no ponto (0,1) e o valor mínimo global é 4.625 no ponto .

Resposta

b) A função atinge seu máximo global de 10 no ponto (0,1) e seu mínimo global de 4.625 no ponto .

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