(2019/1) Calcule a seguinte integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral indefinida de
em relação a
. Isso faz parte do cálculo integral, e para resolver esse tipo de integral, geralmente precisamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Vamos usar uma substituição hiperbólica para facilitar. Vamos definir:
A função hiperbólica seno,
, tem uma propriedade legal:
Isso vai ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
e
na integral original:
Passo 4
Sabemos que
pode ser escrita de uma forma que facilita a integração:
Então, a integral fica:
Integrando cada parte:
Passo 5
Agora, precisamos voltar à variável original
. Como definimos
, temos:
E também:
Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.