(2019/1) Calcule a seguinte integral indefinida:
integral raiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de em relação a . Isso faz parte do cálculo integral, e para resolver esse tipo de integral, geralmente precisamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Vamos usar uma substituição hiperbólica para facilitar. Vamos definir:
x = sinh(t)
A função hiperbólica seno, raiz1 + sinh^2(t) = cosh(t) , tem uma propriedade legal:
Isso vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx = cosh(t) , dt :
integral raiz1 + x^2 , dx = integral cosh(t) cdot cosh(t) , dt = integral cosh^2(t) , dt
Substituindo e na integral original:

Passo 4

Sabemos que cosh^2(t) = 1 + cosh(2t)2 pode ser escrita de uma forma que facilita a integração:
integral cosh^2(t) , dt = 12 integral 1 , dt + 12 integral cosh(2t) , dt
Então, a integral fica:
t2 + sinh(2t)4 + C
Integrando cada parte:

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original t = sinh^-1(x) . Como definimos sinh(2t) = 2sinh(t)cosh(t) = 2xraiz1 + x^2 , temos:
sinh^-1(x)2 + xraiz1 + x^22 + C
E também:
Substituindo tudo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral x raiz1 + x^22 + 12 sinh^-1(x) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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