Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a integral indefinida
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais, especificamente frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e possivelmente usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco. O denominador é
. Podemos fatorar um
de lá:
Então a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração
em frações parciais. Isso significa escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Termo constante:
Resolvendo essas equações:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos escrever a fração parcial:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
-
-
(porque ) -
Então, juntando tudo:
Resposta
A integral indefinida é: