Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2019 / 1) integral x+2x^3-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral indefinida . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais, especificamente frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e possivelmente usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco. O denominador é x^3 - x^2 = x^2(x - 1) . Podemos fatorar um 2019 integral x+2x^2(x - 1) , dx de lá:
Então a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração x+2x^2(x - 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1 em frações parciais. Isso significa escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x + 2 = A cdot x (x - 1) + B (x - 1) + C cdot x^2 para eliminar os denominadores:
x + 2 = A x^2 - A x + B x - B + C x^2
Expandindo os termos:
x + 2 = (A + C) x^2 + (B - A) x - B
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:
Resolvendo essas equações:

Passo 6

Agora que temos x+2x^2(x - 1) = -3x + -2x^2 + 3x - 1 , 2019 integral ( -3x - 2x^2 + 3x - 1 ) , dx e , podemos escrever a fração parcial:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
  1. 2019 ( -3 ln|x| + 2x + 3 ln|x - 1| ) + C
  2. (porque )
Então, juntando tudo:

Resposta

A integral indefinida é:
2019 ( -3 ln|x| + 2x + 3 ln|x - 1| ) + C

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