Calcule as integrais indefinidas abaixo: (2022 / 2) integral 2 x+3x^2-9 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de multiplicada por . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integração de frações racionais, especialmente integral de funções da forma . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o coeficiente que está na frente da integral. Temos 1011 integral 2x + 3x^2 - 9 , dx , que é igual a . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral . Observamos que o denominador pode ser fatorado como , mas antes de fatorar, é uma boa prática verificar se o numerador é uma derivada do denominador ou se podemos ajustar isso.

Passo 4

Vamos dividir o numerador 2x + 3x^2 - 9 = 2xx^2 - 9 + 3x^2 - 9 por . Notamos que a derivada de é , que está presente no numerador. Isso sugere que podemos separar a fração da seguinte maneira:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira parte:
integral 2xx^2 - 9 , dx
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja integral duu = ln|u| + C = ln|x^2 - 9| + C , então integral 3x^2 - 9 , dx . Portanto, a integral se torna:
integral 3x^2 - 9 , dx = 32 cdot 3 ln|x - 3x + 3| + C = 12 ln|x - 3x + 3| + C
Segunda parte:
Reconhecemos essa integral como uma forma de , cuja solução é . No nosso caso, , então:

Passo 6

Juntando as duas partes integradas, temos:
integral 2x + 3x^2 - 9 , dx = ln|x^2 - 9| + 12 ln|x - 3x + 3| + C

Passo 7

Por fim, lembrando do coeficiente que tínhamos no começo, multiplicamos tudo por 1011 ( ln|x^2 - 9| + 12 ln|x - 3x + 3| ) + C :

Resposta

A integral indefinida é igual a:
1011 ( ln|x^2 - 9| + 12 ln|x - 3x + 3| ) + C

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