Passo 1
Então, a gente tem a desigualdade
. Vamos resolver isso! A matéria que vamos usar aqui é de Equações e Desigualdades envolvendo frações. Para resolver, precisamos descobrir onde a fração é maior ou igual a zero, ou seja, onde ela é positiva ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde o numerador e o denominador são iguais a zero, porque nesses pontos a fração pode mudar de sinal ou ser indefinida.
- Numerador:
- Denominador:
Passo 3
Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos:
e
. Os intervalos serão:
Passo 4
Vamos escolher um número de cada intervalo para verificar o sinal da fração
.
-
Para
, vamos escolher : - Numerador:
(positivo) - Denominador:
(negativo) - Fração: Positivo / Negativo = Negativo
- Numerador:
-
Para
, vamos escolher : - Numerador:
(negativo) - Denominador:
(negativo) - Fração: Negativo / Negativo = Positivo
- Numerador:
-
Para
, vamos escolher : - Numerador:
(negativo) - Denominador:
(positivo) - Fração: Negativo / Positivo = Negativo
- Numerador:
Passo 5
Além disso, precisamos verificar os pontos
e
:
- Em
: A fração fica . Então, a fração é igual a zero, o que satisfaz a desigualdade . - Em
: O denominador fica zero, então a fração é indefinida. Não podemos incluir esse ponto.
Passo 6
Agora, juntando tudo:
- A fração é positiva no intervalo
. - A fração é igual a zero em
. - Não podemos incluir
.
Resposta
A solução da desigualdade é
.
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Mostre que
Mostre que, se
são tais que
, então
.
Prove que, para quaisquer inteiros
e
tais que
, temos
.