1. (x^3 + 3x^2 - 4x - 12) / (x^2 + 4x - 5) ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade (x^3 + 3x^2 - 4x - 12) / (x^2 + 4x - 5) ≥ 0. O que isso significa é que queremos encontrar os valores de que tornam essa fração maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador, identificar os pontos onde a expressão é zero ou indefinida, e então analisar os intervalos para ver onde a desigualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador . Vamos procurar por raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando :
Então, é uma raiz, e podemos dividir o polinômio por :
Agora, fatoramos :
Portanto, o numerador fatorado é:

Passo 4

Agora que temos a fração fatorada, podemos reescrever a desigualdade:
Os pontos críticos são onde o numerador ou o denominador são zero, ou seja, , , , , e . Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos que vamos analisar.

Passo 5

Vamos ordenar os pontos críticos na linha dos números:
Isso divide a linha em seis intervalos:

Passo 6

Em cada intervalo, vamos escolher um valor de e verificar o sinal da fração.
  1. , por exemplo, :
  2. , por exemplo, :
  3. , por exemplo, :
  4. , por exemplo, :
  5. , por exemplo, :
  6. , por exemplo, :

Passo 7

Agora, vamos considerar os pontos onde a fração é igual a zero ou indefinida:
  • e tornam o denominador zero, então a fração é indefinida nesses pontos.
  • , , e tornam o numerador zero, então a fração é igual a zero nesses pontos.
Como a desigualdade é , incluímos os pontos onde a fração é igual a zero, mas não onde é indefinida.

Passo 8

Juntando tudo, os intervalos onde a desigualdade é verdadeira são:
E incluindo os pontos onde a fração é zero:
Então, a solução completa é:

Resposta

A solução da desigualdade é .

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