Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. O que isso significa é que queremos encontrar os valores de
que tornam essa fração maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador, identificar os pontos onde a expressão é zero ou indefinida, e então analisar os intervalos para ver onde a desigualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o numerador
. Vamos procurar por raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando
:
Então,
é uma raiz, e podemos dividir o polinômio por
:
Agora, fatoramos
:
Portanto, o numerador fatorado é:
Passo 4
Agora que temos a fração fatorada, podemos reescrever a desigualdade:
Os pontos críticos são onde o numerador ou o denominador são zero, ou seja,
,
,
,
, e
. Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos que vamos analisar.
Passo 5
Vamos ordenar os pontos críticos na linha dos números:
Isso divide a linha em seis intervalos:
Passo 6
Em cada intervalo, vamos escolher um valor de
e verificar o sinal da fração.
-
, por exemplo, : -
, por exemplo, : -
, por exemplo, : -
, por exemplo, : -
, por exemplo, : -
, por exemplo, :
Passo 7
Agora, vamos considerar os pontos onde a fração é igual a zero ou indefinida:
-
e tornam o denominador zero, então a fração é indefinida nesses pontos. -
, , e tornam o numerador zero, então a fração é igual a zero nesses pontos.
Como a desigualdade é
, incluímos os pontos onde a fração é igual a zero, mas não onde é indefinida.
Passo 8
Juntando tudo, os intervalos onde a desigualdade é verdadeira são:
E incluindo os pontos onde a fração é zero:
Então, a solução completa é:
Resposta
A solução da desigualdade é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
Prove que, para quaisquer inteiros
e
tais que
, temos
.
Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.