Prove que, para quaisquer inteiros
e
tais que
, temos
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que, para quaisquer inteiros
e
com
, o binômio
é um número natural. Isso está relacionado ao conteúdo de combinações na matemática. Para resolver, vamos usar a definição de coeficiente binomial e propriedades dos fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial
. Ele representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o fatorial, representado por
. O fatorial de um número inteiro positivo
, denotado por
, é o produto de todos os inteiros positivos de
até
. Por exemplo:
Os fatoriais de qualquer número inteiro não negativo são sempre números naturais.
Passo 4
Observando a fórmula do coeficiente binomial:
Aqui, tanto
,
quanto
são números naturais. Além disso, como
, sabemos que
divide exatamente
, o que garante que a divisão resulta em um número natural.
Passo 5
Portanto, como o coeficiente binomial é a fração de dois números naturais onde o denominador divide o numerador sem deixar resto, concluímos que
é, de fato, um número natural.
Resposta
Para quaisquer inteiros
e
com
, o coeficiente binomial
é um número natural.
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