Prove que, para quaisquer inteiros e tais que , temos .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que, para quaisquer inteiros e com , o binômio é um número natural. Isso está relacionado ao conteúdo de combinações na matemática. Para resolver, vamos usar a definição de coeficiente binomial e propriedades dos fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial . Ele representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o fatorial, representado por . O fatorial de um número inteiro positivo , denotado por , é o produto de todos os inteiros positivos de até . Por exemplo:
Os fatoriais de qualquer número inteiro não negativo são sempre números naturais.

Passo 4

Observando a fórmula do coeficiente binomial:
Aqui, tanto , quanto são números naturais. Além disso, como , sabemos que divide exatamente , o que garante que a divisão resulta em um número natural.

Passo 5

Portanto, como o coeficiente binomial é a fração de dois números naturais onde o denominador divide o numerador sem deixar resto, concluímos que é, de fato, um número natural.

Resposta

Para quaisquer inteiros e com , o coeficiente binomial é um número natural.

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