Prove que, para quaisquer inteiros n e k tais que 0 <= k <= n, temos binom(n, k) in N.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que, para quaisquer inteiros n e k com 0 <= k <= n, o binômio é um número natural. Isso está relacionado ao conteúdo de combinações na matemática. Para resolver, vamos usar a definição de coeficiente binomial e propriedades dos fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial . Ele representa o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o fatorial, representado por . O fatorial de um número inteiro positivo m, denotado por , é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até m. Por exemplo:
Os fatoriais de qualquer número inteiro não negativo são sempre números naturais.

Passo 4

Observando a fórmula do coeficiente binomial:
Aqui, tanto , quanto são números naturais. Além disso, como 0 <= k <= n, sabemos que divide exatamente , o que garante que a divisão resulta em um número natural.

Passo 5

Portanto, como o coeficiente binomial é a fração de dois números naturais onde o denominador divide o numerador sem deixar resto, concluímos que é, de fato, um número natural.

Resposta

Para quaisquer inteiros n e k com 0 <= k <= n, o coeficiente binomial é um número natural.

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