Mostre que, se são tais que , então .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois polinômios e com coeficientes complexos, ou seja, . A condição dada é que divide (escrito como ). Queremos mostrar que, com essa condição, também divide a derivada de , que é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisão de polinômios e regras de derivação.

Passo 2

Sabemos que se , então existe um polinômio tal que:
Isso significa que pode ser escrito como o produto de e outro polinômio .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Usando a regra do produto para derivadas, temos:
A derivada de um produto é . Aplicando isso:

Passo 4

Vamos fatorar na expressão da derivada para simplificar:
Aqui, está em evidência, indicando que ele é um fator comum em ambos os termos da soma dentro dos colchetes.

Passo 5

Observando a expressão fatorada, vemos que existe um polinômio tal que:
Isso mostra que divide , já que é igual a multiplicado por algum polinômio .

Resposta

Portanto, demonstramos que se , então .

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Generalize a fórmula de multisecção do seguinte modo: dados , primo ímpar e inteiro, se é uma raíz p-ésima da unidade, então
onde denota o coeficiente de em .
Mostre que