Mostre que, se
são tais que
, então
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois polinômios
e
com coeficientes complexos, ou seja,
. A condição dada é que
divide
(escrito como
). Queremos mostrar que, com essa condição,
também divide a derivada de
, que é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisão de polinômios e regras de derivação.
Passo 2
Sabemos que se
, então existe um polinômio
tal que:
Isso significa que
pode ser escrito como o produto de
e outro polinômio
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
A derivada de um produto
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Vamos fatorar
na expressão da derivada para simplificar:
Aqui,
está em evidência, indicando que ele é um fator comum em ambos os termos da soma dentro dos colchetes.
Passo 5
Observando a expressão fatorada, vemos que existe um polinômio
tal que:
Isso mostra que
divide
, já que
é igual a
multiplicado por algum polinômio
.
Resposta
Portanto, demonstramos que se
, então
.
Exercícios relacionados
Generalize a fórmula de multisecção do seguinte modo: dados
,
primo ímpar e
inteiro, se
é uma raíz p-ésima da unidade, então
onde
denota o coeficiente de
em
.
Mostre que