Mostre que

Passo 1

Então, a gente tem uma equação para provar:
Esse exercício está relacionado com combinatória, especificamente com coeficientes binomiais. Vamos precisar entender como funcionam as combinações e como elas podem ser manipuladas para provar essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o coeficiente binomial . Ele representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos, sem se preocupar com a ordem. A fórmula é:

Passo 3

Agora, olhamos para o lado esquerdo da equação: . Isso representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos.

Passo 4

No lado direito, temos a soma . Cada termo pode ser interpretado como o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto e, simultaneamente, escolher elementos de outro conjunto, ambos com elementos.

Passo 5

Para conectar os dois lados, vamos pensar no problema de escolher elementos de um conjunto de elementos como sendo a união de dois subconjuntos, cada um com elementos. Ou seja, queremos escolher elementos do primeiro subconjunto e elementos do segundo subconjunto, para cada possível valor de de a .

Passo 6

Matematicamente, isso se traduz em:
Nota que , então podemos simplificar para:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Mostre que, se são tais que , então .