Mostre que
Passo 1
Então, a gente tem uma equação para provar:
Esse exercício está relacionado com combinatória, especificamente com coeficientes binomiais. Vamos precisar entender como funcionam as combinações e como elas podem ser manipuladas para provar essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o coeficiente binomial
. Ele representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos, sem se preocupar com a ordem. A fórmula é:
Passo 3
Agora, olhamos para o lado esquerdo da equação:
. Isso representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos.
Passo 4
No lado direito, temos a soma
. Cada termo
pode ser interpretado como o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto e, simultaneamente, escolher
elementos de outro conjunto, ambos com
elementos.
Passo 5
Para conectar os dois lados, vamos pensar no problema de escolher
elementos de um conjunto de
elementos como sendo a união de dois subconjuntos, cada um com
elementos. Ou seja, queremos escolher
elementos do primeiro subconjunto e
elementos do segundo subconjunto, para cada possível valor de
de
a
.
Passo 6
Matematicamente, isso se traduz em:
Nota que
, então podemos simplificar para:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Mostre que, se
são tais que
, então
.