Mostre que
binom2 nn=sumi=0^nbinomni^2

Passo 1

Então, a gente tem uma equação para provar:
binom2nn = sumi=0^n binomni^2
Esse exercício está relacionado com combinatória, especificamente com coeficientes binomiais. Vamos precisar entender como funcionam as combinações e como elas podem ser manipuladas para provar essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o coeficiente binomial binomnk. Ele representa o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, sem se preocupar com a ordem. A fórmula é:
binomnk = n!k!(n - k)!

Passo 3

Agora, olhamos para o lado esquerdo da equação: binom2nn. Isso representa o número de maneiras de escolher n elementos de um conjunto com 2n elementos.

Passo 4

No lado direito, temos a soma sumi=0^n binomni^2. Cada termo binomni^2 pode ser interpretado como o número de maneiras de escolher i elementos de um conjunto e, simultaneamente, escolher i elementos de outro conjunto, ambos com n elementos.

Passo 5

Para conectar os dois lados, vamos pensar no problema de escolher n elementos de um conjunto de 2n elementos como sendo a união de dois subconjuntos, cada um com n elementos. Ou seja, queremos escolher i elementos do primeiro subconjunto e n - i elementos do segundo subconjunto, para cada possível valor de i de 0 a n.

Passo 6

Matematicamente, isso se traduz em:
binom2nn = sumi=0^n binomni binomnn - i
Nota que binomnn - i = binomni, então podemos simplificar para:
binom2nn = sumi=0^n binomni^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
binom2nn = sumi=0^n binomni^2

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