Usando el método de fracciones simples calcular las siguientes integrales: integral 1(x-1)(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 1(x-1)(x+2) , dx. A gente vai usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Então, vamos precisar entender como decompor essa fração em partes menores.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que a fração pode ser escrita como a soma de duas frações mais simples. Então, vamos dizer que:
1(x-1)(x+2) = Ax-1 + Bx+2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para descobrir os valores de A e B, vamos somar as frações da direita:
Ax-1 + Bx+2 = A(x+2) + B(x-1)(x-1)(x+2)
Agora, igualamos o numerador dessa expressão ao numerador da fração original:
1 = A(x+2) + B(x-1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar valores específicos de x para facilitar a resolução:
  • Se x = 1, a equação fica:
    1 = A(1+2) + B(1-1) Rightarrow 1 = 3A Rightarrow A = 13
  • Se x = -2, a equação fica:
    1 = A(-2+2) + B(-2-1) Rightarrow 1 = -3B Rightarrow B = -13

Passo 5

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a integral original:
integral 1(x-1)(x+2) , dx = integral ( 1/3x-1 - 1/3x+2 ) dx

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
13 integral 1x-1 , dx - 13 integral 1x+2 , dx
As integrais de 1x-a , dx são conhecidas:
13 ln|x-1| - 13 ln|x+2| + C

Resposta

integral 1(x-1)(x+2) , dx = 13 ln|x-1| - 13 ln|x+2| + C

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