1. x^4 + x + 6 < x^3 + 7 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . A matéria envolvida aqui é Álgebra, especificamente sobre desigualdades polinomiais. Para resolver, vamos precisar reorganizar a desigualdade e encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade para facilitar a análise. Subtraindo e de ambos os lados, ficamos com:

Passo 3

Agora, temos um polinômio de quarto grau. Para resolver a desigualdade, precisamos encontrar as raízes dessa equação polinomial, ou seja, os valores de que tornam a expressão igual a zero:

Passo 4

Vamos tentar fatorar o polinômio. Procuramos por raízes racionais usando o teste de possíveis raízes, que são os divisores do termo constante (6) sobre os divisores do coeficiente principal (1). Então, testamos :
Portanto, é uma raiz. Isso significa que é um fator do polinômio.

Passo 5

Vamos dividir o polinômio original por usando divisão polinomial ou o método de fatoração. Após a divisão, obtemos:

Passo 6

Agora, precisamos fatorar o polinômio cúbico . Testamos novamente possíveis raízes racionais. Testando :
Então, é uma raiz, e é um fator.

Passo 7

Dividindo por , obtemos:

Passo 8

Agora, fatores o polinômio quadrático . Para isso, encontramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e 2.

Passo 9

Então, todo o polinômio original fatorado fica:

Passo 10

Agora, para resolver a desigualdade , vamos identificar os valores de onde o produto é negativo. Os pontos críticos são .

Passo 11

Dividimos a reta numérica em intervalos com esses pontos críticos e testamos o sinal do produto em cada intervalo:
  • Intervalo (-∞, -2): Escolha
  • Intervalo (-2, -1): Escolha
  • Intervalo (-1, 1): Escolha
  • Intervalo (1, 3): Escolha
  • Intervalo (3, +∞): Escolha

Passo 12

A desigualdade é satisfeita nos intervalos onde o produto é negativo. Portanto, os intervalos são:

Resposta

Os valores de que satisfazem a desigualdade são:

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