Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. A matéria envolvida aqui é Álgebra, especificamente sobre desigualdades polinomiais. Para resolver, vamos precisar reorganizar a desigualdade e encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade para facilitar a análise. Subtraindo
e
de ambos os lados, ficamos com:
Passo 3
Agora, temos um polinômio de quarto grau. Para resolver a desigualdade, precisamos encontrar as raízes dessa equação polinomial, ou seja, os valores de
que tornam a expressão igual a zero:
Passo 4
Vamos tentar fatorar o polinômio. Procuramos por raízes racionais usando o teste de possíveis raízes, que são os divisores do termo constante (6) sobre os divisores do coeficiente principal (1). Então, testamos
:
Portanto,
é uma raiz. Isso significa que
é um fator do polinômio.
Passo 5
Vamos dividir o polinômio original por
usando divisão polinomial ou o método de fatoração. Após a divisão, obtemos:
Passo 6
Agora, precisamos fatorar o polinômio cúbico
. Testamos novamente possíveis raízes racionais. Testando
:
Então,
é uma raiz, e
é um fator.
Passo 7
Dividindo
por
, obtemos:
Passo 8
Agora, fatores o polinômio quadrático
. Para isso, encontramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e 2.
Passo 9
Então, todo o polinômio original fatorado fica:
Passo 10
Agora, para resolver a desigualdade
, vamos identificar os valores de
onde o produto é negativo. Os pontos críticos são
.
Passo 11
Dividimos a reta numérica em intervalos com esses pontos críticos e testamos o sinal do produto em cada intervalo:
-
Intervalo (-∞, -2): Escolha
-
Intervalo (-2, -1): Escolha
-
Intervalo (-1, 1): Escolha
-
Intervalo (1, 3): Escolha
-
Intervalo (3, +∞): Escolha
Passo 12
A desigualdade é satisfeita nos intervalos onde o produto é negativo. Portanto, os intervalos são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a desigualdade são: