Evalúe la integral definida: integral1^4 raiz16 x^5 d x

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral definida: . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente sobre integrais envolvendo potências e raízes. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e depois aplicar as regras de integração que a gente conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raiz16 x^5 = (16 x^5)^12 = 16^12 times (x^5)^12 = 4 times x^2.5 . Lembra que a raiz quadrada é a mesma coisa que elevar a expressão a ? Então:
Aqui, porque , e .

Passo 3

Agora, nossa integral fica mais simples:
integral1^4 4 x^2.5 , dx
Podemos tirar o 4 de fora da integral para facilitar:
4 integral1^4 x^2.5 , dx

Passo 4

Para integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C , usamos a regra de potência da integração, que diz:
integral x^2.5 , dx = x^3.53.5 = 27 x^3.5
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
4 times 27 x^3.5 |1^4 = 87 x^3.5 |1^4

Passo 6

Agora, fazemos a avaliação nos limites de 1 a 4:
87 (4^3.5 - 1^3.5)
Calculando cada parte:
4^3.5 = 4^3 times 4^0.5 = 64 times 2 = 128
1^3.5 = 1
Então:
87 (128 - 1) = 87 times 127 = 10167 approx 145,14

Resposta

O valor da integral definida é ou aproximadamente 145,14.

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