En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 3 e encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular integrais definidas e entender o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Vamos calcular a integral definida . A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 3, vamos avaliar nesses limites.

Passo 3

Avaliar a integral nos limites de 0 a 3:
Então, o valor da integral é 27.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais, que nos diz que existe um número no intervalo tal que:
Isso significa que:

Passo 5

Simplificando a equação para encontrar :

Resposta

O número que satisfaz o Teorema do Valor Médio é , aproximadamente 1,732.

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Evalúe la integral definida:
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones: