En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: integral0^3 3 x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 3 e encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular integrais definidas e entender o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Vamos calcular a integral definida integral 3x^2 dx = x^3 + C . A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 3, vamos avaliar nesses limites.

Passo 3

Avaliar a integral nos limites de 0 a 3:
integral0^3 3x^2 dx = [x^3]0^3 = 3^3 - 0^3 = 27 - 0 = 27
Então, o valor da integral é 27.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais, que nos diz que existe um número integral0^3 3x^2 dx = 3c^2 cdot (3 - 0) no intervalo 27 = 3c^2 cdot 3 tal que:
Isso significa que:

Passo 5

Simplificando a equação para encontrar 27 = 9c^2 c^2 = 279 c^2 = 3 c = raiz3 approx 1,732 :

Resposta

O número que satisfaz o Teorema do Valor Médio é , aproximadamente 1,732.

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